Posición relativa de rectas y ecuaciones de planos

**(a) Calculad una ecuación vectorial para la recta $r$. (2 puntos)** Para obtener la ecuación vectorial de la recta $r$, necesitamos un punto $P_r$ y un vector director $\vec{v}_r$. La recta viene dada en su forma implícita: $$r \equiv \begin{cases} x + y = 3 \\ 2x - z = 1 \end{cases}$$ Podemos parametrizar la recta eligiendo $x = \mu$. Despejamos $y$ y $z$ en función de $\mu$: 1. De la primera ecuación: $y = 3 - x = 3 - \mu$ 2. De la segunda ecuación: $z = 2x - 1 = 2\mu - 1$ La forma paramétrica es: $$r \equiv \begin{cases} x = \mu \\ y = 3 - \mu \\ z = -1 + 2\mu \end{cases}$$ De aquí extraemos el punto y el vector director: - Punto $P_r = (0, 3, -1)$ - Vector director $\vec{v}_r = (1, -1, 2)$ La ecuación vectorial se escribe como $(x, y, z) = P_r + \mu \vec{v}_r$: 💡 **Tip:** Para pasar de implícitas a paramétricas, basta con asignar un parámetro a una de las variables o realizar el producto vectorial de los vectores normales de los planos que definen la recta. ✅ **Resultado:** $$\boxed{r \equiv (x, y, z) = (0, 3, -1) + \mu(1, -1, 2)}$$

**(b) Calculad la posición relativa de las rectas $r$ y $s$. (3 puntos)** Primero, identificamos los elementos de cada recta: - De la recta $r$ (apartado anterior): $P_r(0, 3, -1)$ y $\vec{v}_r(1, -1, 2)$. - De la recta $s$: $P_s(1, 0, -4)$ y $\vec{v}_s(1, -1, -1)$. Calculamos el vector que une un punto de cada recta: $$\vec{P_r P_s} = P_s - P_r = (1 - 0, 0 - 3, -4 - (-1)) = (1, -3, -3)$$ Comparamos los vectores directores $\vec{v}_r$ y $\vec{v}_s$: $$\frac{1}{1} = \frac{-1}{-1} \neq \frac{2}{-1}$$ Los vectores no son proporcionales, por lo que las rectas **no son paralelas ni coincidentes**. Se cortan en un punto o se cruzan en el espacio.

Para distinguir si se cortan o se cruzan, calculamos el determinante de la matriz formada por los tres vectores $M = (\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{P_r P_s})$: $$\text{det}(M) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & -3 \\ 2 & -1 & -3 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por la regla de Sarrus: $$\text{det}(M) = [1 \cdot (-1) \cdot (-3) + 1 \cdot (-3) \cdot 2 + 1 \cdot (-1) \cdot (-1)] - [1 \cdot (-1) \cdot 2 + (-3) \cdot (-1) \cdot 1 + (-3) \cdot (-1) \cdot 1]$$ $$\text{det}(M) = [3 - 6 + 1] - [-2 + 3 + 3] = [-2] - [4] = -6$$ Como $\text{det}(M) \neq 0$, los tres vectores son linealmente independientes. Esto significa que las rectas están en planos diferentes y no tienen puntos en común. 💡 **Tip:** Si el determinante es 0 y los vectores directores son independientes, las rectas se cortan. Si es distinto de 0, se cruzan. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Las rectas } r \text{ y } s \text{ se cruzan en el espacio.}}$$

**(c) Calculad la ecuación general del plano perpendicular a la recta $r$ que pasa por el punto $P(2, 0, -1)$. (2 puntos)** Si un plano $\pi$ es perpendicular a una recta $r$, el vector director de la recta $\vec{v}_r$ es el vector normal del plano $\vec{n}_\pi$. $$\vec{n}_\pi = \vec{v}_r = (1, -1, 2)$$ La ecuación general del plano tiene la forma $Ax + By + Cz + D = 0$, donde $(A, B, C)$ son las componentes del vector normal: $$1x - 1y + 2z + D = 0$$ Para hallar $D$, obligamos a que el plano pase por el punto $P(2, 0, -1)$: $$1(2) - 1(0) + 2(-1) + D = 0$$ $$2 - 0 - 2 + D = 0 \implies D = 0$$ 💡 **Tip:** Un plano queda determinado por un punto y un vector normal. Si es perpendicular a una recta, usa el vector director de esta como normal. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x - y + 2z = 0}$$

**(d) Calculad la ecuación general del plano paralelo a la recta $r$ que contiene a la recta $s$. (3 puntos)** El plano buscado, llamémoslo $\pi'$, debe cumplir: 1. Contiene a la recta $s$: por tanto, contiene al punto $P_s(1, 0, -4)$ y su dirección es $\vec{v}_s(1, -1, -1)$. 2. Es paralelo a la recta $r$: por tanto, su dirección también es paralela a $\vec{v}_r(1, -1, 2)$. El vector normal del plano $\vec{n}_{\pi'}$ se obtiene mediante el producto vectorial de los dos vectores directores: $$\vec{n}_{\pi'} = \vec{v}_r \times \vec{v}_s = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ 1 & -1 & -1 \end{vmatrix}$$ Calculamos el determinante: $$\mathbf{i} \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}$$ $$\vec{n}_{\pi'} = \mathbf{i}(1 - (-2)) - \mathbf{j}(-1 - 2) + \mathbf{k}(-1 - (-1)) = 3\mathbf{i} + 3\mathbf{j} + 0\mathbf{k} = (3, 3, 0)$$ Podemos simplificar el vector normal usando $\vec{n}_{\pi'} = (1, 1, 0)$. La ecuación es: $$1x + 1y + 0z + D = 0 \implies x + y + D = 0$$ Usamos el punto $P_s(1, 0, -4)$ para hallar $D$: $$1 + 0 + D = 0 \implies D = -1$$ 💡 **Tip:** Para que un plano contenga una recta y sea paralelo a otra, sus vectores directores deben ser directores del plano. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x + y - 1 = 0}$$