Geometría del paralelogramo: Ángulos, puntos medios y áreas

**(a) Calculad el coseno del ángulo que forman los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$. (2 puntos)** Primero, calculamos las componentes de los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$ restando las coordenadas de sus extremos: $$\vec{AB} = B - A = (2 - 1, 1 - 0, 0 - (-1)) = (1, 1, 1)$$ $$\vec{AC} = C - A = (4 - 1, 3 - 0, -2 - (-1)) = (3, 3, -1)$$ La fórmula para el coseno del ángulo $\alpha$ entre dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ es: $$\cos \alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$$ Calculamos el producto escalar: $$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (1)(3) + (1)(3) + (1)(-1) = 3 + 3 - 1 = 5$$ Calculamos los módulos de cada vector: $$|\vec{AB}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$$ $$|\vec{AC}| = \sqrt{3^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 9 + 1} = \sqrt{19}$$ Sustituimos en la fórmula: $$\cos \alpha = \frac{5}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{19}} = \frac{5}{\sqrt{57}}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el producto escalar se calcula como la suma de los productos de las componentes correspondientes: $x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\cos \alpha = \frac{5}{\sqrt{57}} \approx 0.662}$$

**(b) Calculad las coordenadas del punto medio, $M$, del segmento $AC$. (2 puntos)** El punto medio $M$ de un segmento con extremos $A(x_1, y_1, z_1)$ y $C(x_2, y_2, z_2)$ se calcula promediando sus coordenadas: $$M = \left( \frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2}, \frac{z_A + z_C}{2} \right)$$ Sustituimos las coordenadas de $A(1, 0, -1)$ y $C(4, 3, -2)$: $$M = \left( \frac{1 + 4}{2}, \frac{0 + 3}{2}, \frac{-1 + (-2)}{2} \right)$$ $$M = \left( \frac{5}{2}, \frac{3}{2}, -\frac{3}{2} \right)$$ 💡 **Tip:** El punto medio es el centro geométrico del paralelogramo, donde se cruzan las dos diagonales. ✅ **Resultado:** $$\boxed{M\left( 2.5, 1.5, -1.5 \right)}$$

**(c) Calculad las coordenadas del vértice $D$. (4 puntos)** En un paralelogramo $ABCD$, las diagonales $AC$ y $BD$ se cortan en su punto medio. Por tanto, el punto $M$ calculado en el apartado anterior también debe ser el punto medio del segmento $BD$. Si $D(x, y, z)$, entonces: $$M = \frac{B + D}{2} \implies D = 2M - B$$ Sustituimos $M(2.5, 1.5, -1.5)$ y $B(2, 1, 0)$: $$x_D = 2(2.5) - 2 = 5 - 2 = 3$$ $$y_D = 2(1.5) - 1 = 3 - 1 = 2$$ $$z_D = 2(-1.5) - 0 = -3 - 0 = -3$$ Alternativamente, podríamos usar la igualdad de vectores $\vec{AD} = \vec{BC}$: $$D - A = C - B \implies D = A + C - B$$ $$D = (1, 0, -1) + (4, 3, -2) - (2, 1, 0) = (3, 2, -3)$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{D(3, 2, -3)}$$

**(d) Calculad el área del paralelogramo $ABCD$. (2 puntos)** El área de un paralelogramo definido por los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AD}$ es el módulo de su producto vectorial: $$\text{Área} = |\vec{AB} \times \vec{AD}|$$ Ya conocemos $\vec{AB} = (1, 1, 1)$. Calculamos $\vec{AD}$: $$\vec{AD} = D - A = (3 - 1, 2 - 0, -3 - (-1)) = (2, 2, -2)$$ Calculamos el producto vectorial mediante el determinante: $$\vec{AB} \times \vec{AD} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & -2 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por la primera fila (o regla de Sarrus): $$= \vec{i} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -2 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -2 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix}$$ $$= \vec{i}(-2 - 2) - \vec{j}(-2 - 2) + \vec{k}(2 - 2)$$ $$= -4\vec{i} + 4\vec{j} + 0\vec{k} = (-4, 4, 0)$$ Calculamos el módulo del vector resultante: $$\text{Área} = \sqrt{(-4)^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32}$$ Simplificando: $$\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$$ 💡 **Tip:** El área también se puede calcular como el doble del área del triángulo $ABC$, es decir, $|\vec{AB} \times \vec{AC}|$. El resultado debe ser el mismo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área} = 4\sqrt{2} \approx 5.657 \text{ u}^2}$$