Continuidad y derivabilidad de una función a trozos

**(a) Calculad la condición que deben cumplir los parámetros $a$ y $b$ para que la función $y = f(x)$ sea continua. (3 puntos)** Para que la función sea continua en todo su dominio, primero analizamos las ramas: 1. La primera rama es una función racional cuyo denominador se anula en $x=2$. Como esta rama solo está definida para $x \le 0$, no hay problemas de dominio en su intervalo. 2. La segunda rama es un polinomio, continuo en todo $\mathbb{R}$. El único punto crítico es el salto entre ramas en $x=0$. Para que sea continua en $x=0$, deben coincidir los límites laterales y el valor de la función: - Límite por la izquierda ($x \to 0^-$): $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{x^2+a}{2x-4} = \frac{0^2+a}{2(0)-4} = -\frac{a}{4}$$ - Límite por la derecha ($x \to 0^+$): $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (10x^2 + x + b) = 10(0)^2 + 0 + b = b$$ - Valor de la función: $$f(0) = -\frac{a}{4}$$ Igualamos los límites para que exista el límite global y sea igual a $f(0)$: $$-\frac{a}{4} = b \implies a = -4b$$ 💡 **Tip:** Una función es continua en un punto si $f(a) = \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a + 4b = 0 \quad \text{o} \quad a = -4b}$$

**(b) Calculad $f'(x)$. (4 puntos)** Derivamos cada rama de la función de forma independiente para $x \neq 0$: **Para $x < 0$**, usamos la regla del cociente $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$: Si $u = x^2+a \implies u' = 2x$ Si $v = 2x-4 \implies v' = 2$ $$f'(x) = \frac{(2x)(2x-4) - (x^2+a)(2)}{(2x-4)^2} = \frac{4x^2 - 8x - 2x^2 - 2a}{(2x-4)^2} = \frac{2x^2 - 8x - 2a}{(2x-4)^2}$$ Podemos simplificar dividiendo numerador y denominador entre $2$ (teniendo en cuenta que $(2x-4)^2 = [2(x-2)]^2 = 4(x-2)^2$): $$f'(x) = \frac{2(x^2 - 4x - a)}{4(x-2)^2} = \frac{x^2 - 4x - a}{2(x-2)^2}$$ **Para $x > 0$**, derivamos el polinomio: $$f'(x) = (10x^2 + x + b)' = 20x + 1$$ 💡 **Tip:** No incluyas el signo igual en la derivada en el punto de salto ($x=0$) hasta que no compruebes su derivabilidad en el siguiente apartado. ✅ **Resultado:** $$f'(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2-4x-a}{2(x-2)^2} & \text{si } x < 0, \\ 20x + 1 & \text{si } x > 0. \end{cases}$$

**(c) Hallad la condición y calculad los parámetros $a$ y $b$ para que la función $y = f(x)$ sea derivable. (3 puntos)** Para que la función sea derivable en $x=0$, primero debe ser **continua**, por lo que se debe cumplir la condición del apartado (a): $a = -4b$. Además, las derivadas laterales en $x=0$ deben ser iguales: - Derivada lateral izquierda: $$f'(0^-) = \lim_{x \to 0^-} \frac{x^2-4x-a}{2(x-2)^2} = \frac{0-0-a}{2(0-2)^2} = \frac{-a}{2(4)} = -\frac{a}{8}$$ - Derivada lateral derecha: $$f'(0^+) = \lim_{x \to 0^+} (20x + 1) = 20(0) + 1 = 1$$ Igualamos ambas derivadas: $$-\frac{a}{8} = 1 \implies a = -8$$ Ahora, usamos la condición de continuidad para hallar $b$: $$a = -4b \implies -8 = -4b \implies b = \frac{-8}{-4} = 2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivabilidad implica continuidad, pero la continuidad no siempre implica derivabilidad. Siempre comprueba primero la continuidad. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = -8, \quad b = 2}$$