Estudio de función exponencial, tangentes, límites e integrales

**(a) Determinad las coordenadas del punto en el cual la tangente a la gráfica de la función $y = f(x)$ tiene pendiente igual a $3/e$. Escribid la ecuación de esta recta tangente.** La pendiente de la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en un punto de abscisa $x$ viene dada por el valor de su derivada $f'(x)$. Calculamos la derivada de $f(x) = e^{3x-2}$ usando la regla de la cadena: $$f'(x) = e^{3x-2} \cdot (3x-2)' = 3e^{3x-2}.$$ Igualamos la derivada a la pendiente dada, $3/e$ (que podemos escribir como $3e^{-1}$): $$3e^{3x-2} = 3e^{-1}.$$ Dividiendo entre $3$ e igualando los exponentes: $$3x - 2 = -1 \implies 3x = 1 \implies x = \frac{1}{3}.$$ Para hallar las coordenadas completas del punto $P(x, y)$, calculamos la imagen de $x = 1/3$: $$y = f(1/3) = e^{3(1/3)-2} = e^{1-2} = e^{-1} = \frac{1}{e}.$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la pendiente de la recta tangente en $x = a$ es $m = f'(a)$. $$\boxed{P\left(\frac{1}{3}, \frac{1}{e}\right)}$$

Utilizamos la fórmula de la recta punto-pendiente: $y - y_0 = m(x - x_0)$, donde el punto es $P(1/3, 1/e)$ y la pendiente es $m = 3/e$. Sustituimos los valores: $$y - \frac{1}{e} = \frac{3}{e}\left(x - \frac{1}{3}\right).$$ Operamos para simplificar la expresión: $$y - \frac{1}{e} = \frac{3}{e}x - \frac{3}{3e} \implies y - \frac{1}{e} = \frac{3}{e}x - \frac{1}{e}.$$ Sumamos $1/e$ en ambos lados para despejar la $y$: $$y = \frac{3}{e}x.$$ ✅ **Resultado (recta tangente):** $$\boxed{y = \frac{3}{e}x}$$

**(b) Calculad el $\lim_{x \to 2/3} \frac{1-f(x)}{6x-4}$.** Sustituimos $x = 2/3$ en la expresión del límite: $$\lim_{x \to 2/3} \frac{1-e^{3x-2}}{6x-4} = \frac{1-e^{3(2/3)-2}}{6(2/3)-4} = \frac{1-e^0}{4-4} = \frac{0}{0}.$$ Obtenemos una indeterminación del tipo $0/0$. Aplicamos la **regla de L'Hôpital**, derivando numerador y denominador de forma independiente: $$\lim_{x \to 2/3} \frac{\frac{d}{dx}(1-e^{3x-2})}{\frac{d}{dx}(6x-4)} = \lim_{x \to 2/3} \frac{-3e^{3x-2}}{6}.$$ Ahora evaluamos de nuevo el límite sustituyendo $x = 2/3$: $$\lim_{x \to 2/3} \frac{-3e^{3(2/3)-2}}{6} = \frac{-3e^0}{6} = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}.$$ 💡 **Tip:** La regla de L'Hôpital es muy útil para resolver límites con indeterminaciones $0/0$ o $\infty/\infty$ cuando las funciones son derivables. ✅ **Resultado:** $$\boxed{-\frac{1}{2}}$$

**(c) Realizad un esbozo de la gráfica de la función $y = f(x)$.** Para realizar el esbozo de $f(x) = e^{3x-2}$, analizamos sus características principales: 1. **Dominio:** Al ser una función exponencial con exponente polinómico, su dominio es $\mathbb{R}$. 2. **Corte con el eje $Y$:** $f(0) = e^{-2} = 1/e^2 \approx 0.135$. El punto es $(0, 0.135)$. 3. **Corte con el eje $X$:** $e^{3x-2} = 0$ no tiene solución, por lo que no corta el eje $X$. 4. **Asíntotas horizontales:** - $\lim_{x \to +\infty} e^{3x-2} = e^{+\infty} = +\infty$. - $\lim_{x \to -\infty} e^{3x-2} = e^{-\infty} = 0$. Asíntota horizontal $y=0$ por la izquierda. 5. **Monotonía:** Como $f'(x) = 3e^{3x-2} > 0$ para todo $x$, la función es siempre estrictamente creciente. Utilizamos un gráfico interactivo para visualizar la curva: "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x)=e^{3x-2}", "color": "#2563eb" } ], "bounds": { "left": -1.5, "right": 1.5, "bottom": -0.5, "top": 3 } } }

**(d) Calculad el área de la superficie limitada por la gráfica de la función $y = f(x)$ y las rectas $x = 0$ e $y = 1$.** Primero, buscamos el punto de corte entre $y = e^{3x-2}$ e $y = 1$: $$e^{3x-2} = 1 \implies 3x - 2 = \ln(1) \implies 3x - 2 = 0 \implies x = \frac{2}{3}.$$ El área está comprendida entre $x=0$ y $x=2/3$. En este intervalo, la recta $y=1$ está por encima de la curva $f(x)$ (puesto que $f(0) = e^{-2} < 1$). El área es la integral definida: $$A = \int_{0}^{2/3} (1 - e^{3x-2}) \, dx.$$ Calculamos la primitiva: $$\int (1 - e^{3x-2}) \, dx = x - \frac{1}{3}e^{3x-2}.$$ Aplicamos la **regla de Barrow**: $$A = \left[ x - \frac{1}{3}e^{3x-2} \right]_{0}^{2/3} = \left( \frac{2}{3} - \frac{1}{3}e^{3(2/3)-2} \right) - \left( 0 - \frac{1}{3}e^{3(0)-2} \right)$$ $$A = \left( \frac{2}{3} - \frac{1}{3}e^0 \right) - \left( -\frac{1}{3}e^{-2} \right) = \left( \frac{2}{3} - \frac{1}{3} \right) + \frac{1}{3e^2}$$ $$A = \frac{1}{3} + \frac{1}{3e^2} = \frac{e^2 + 1}{3e^2} \text{ u}^2.$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A = \frac{e^2 + 1}{3e^2} \approx 0.378 \text{ u}^2}$$