Discusión y resolución de un sistema con parámetro

**(a) Discutid el sistema según el parámetro $a$. (4 puntos)** En primer lugar, escribimos el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$, donde $A$ es la matriz de coeficientes y $A^*$ es la matriz ampliada con los términos independientes: $$A = \begin{pmatrix} 3 & -2 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ a & 0 & 3 \end{pmatrix}, \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 3 & -2 & 0 & 4 \\ 0 & a & 0 & -3 \\ a & 0 & 3 & 0 \end{array}\right)$$ El estudio de la compatibilidad del sistema se realiza comparando el rango de estas matrices según el valor de $a$. 💡 **Tip:** El Teorema de Rouché-Frobenius establece que un sistema es compatible si y solo si $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*)$.

Calculamos el determinante de la matriz $A$ para hallar los valores críticos de $a$ que hacen que el rango sea menor que el máximo (3): $$|A| = \begin{vmatrix} 3 & -2 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ a & 0 & 3 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos el determinante (por ejemplo, por la segunda fila o por Sarrus): $$|A| = 3 \cdot a \cdot 3 + (-2) \cdot 0 \cdot a + 0 \cdot 0 \cdot 0 - (0 \cdot a \cdot a + (-2) \cdot 0 \cdot 3 + 3 \cdot 0 \cdot 0) = 9a$$ Igualamos a cero para encontrar los puntos de discusión: $$9a = 0 \implies a = 0$$

Analizamos los dos casos posibles según el valor de $a$: **Caso 1: $a \neq 0$** Si $a \neq 0$, entonces $|A| \neq 0$. Esto implica que el rango de la matriz de coeficientes es máximo: $$\text{rg}(A) = 3 = \text{rg}(A^*) = n \text{ (nº de incógnitas)}$$ Según el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es **Sistema Compatible Determinado (S.C.D.)**, con solución única. **Caso 2: $a = 0$** Si $a = 0$, la matriz ampliada queda: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 3 & -2 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \end{array}\right)$$ Podemos observar que la segunda ecuación es $0x + 0y + 0z = -3$, lo cual es una **contradicción ($0 = -3$)**. Formalmente, el rango de $A$ es 2 (ya que $\begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} \neq 0$) y el rango de $A^*$ es 3 (ya que el menor formado por las columnas 1, 3 y 4 es $\begin{vmatrix} 3 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & -3 \\ 0 & 3 & 0 \end{vmatrix} = 27 \neq 0$). Como $\text{rg}(A) \neq \text{rg}(A^*)$, el sistema es **Sistema Incompatible (S.I.)**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{cases} a \neq 0 \implies \text{S.C.D.} \\ a = 0 \implies \text{S.I.} \end{cases}}$$

**(b) Para el valor del parámetro $a$ para el cual el sistema tiene solución, resolvedlo. (6 puntos)** El sistema tiene solución siempre que **$a \neq 0$**. Vamos a resolverlo en función de $a$ utilizando el método de sustitución, ya que las ecuaciones son sencillas: 1) De la segunda ecuación: $$ay = -3 \implies y = -\frac{3}{a}$$ 2) Sustituimos $y$ en la primera ecuación para hallar $x$: $$3x - 2\left(-\frac{3}{a}\right) = 4 \implies 3x + \frac{6}{a} = 4$$ $$3x = 4 - \frac{6}{a} \implies 3x = \frac{4a - 6}{a} \implies x = \frac{4a - 6}{3a}$$ 3) Sustituimos $x$ en la tercera ecuación para hallar $z$: $$ax + 3z = 0 \implies a\left(\frac{4a - 6}{3a}\right) + 3z = 0$$ $$\frac{4a - 6}{3} + 3z = 0 \implies 3z = -\frac{4a - 6}{3} \implies z = -\frac{4a - 6}{9} = \frac{6 - 4a}{9}$$ 💡 **Tip:** También se podría resolver por la Regla de Cramer, pero en este caso la estructura del sistema permite una resolución directa más rápida. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x = \frac{4a - 6}{3a}, \quad y = -\frac{3}{a}, \quad z = \frac{6 - 4a}{9}}$$