Operaciones con matrices y ecuaciones matriciales con parámetros

**(a) Calculad la matriz $A - \lambda I$. (2 puntos)** Para calcular la matriz resultante, restamos a la matriz $A$ el producto del escalar $\lambda$ por la matriz identidad $I$. Esta operación afecta únicamente a los elementos de la diagonal principal de $A$. $$A - \lambda I = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} - \lambda \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Multiplicamos el escalar por la identidad: $$\lambda I = \begin{pmatrix} \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix}$$ Realizamos la resta elemento a elemento: $$A - \lambda I = \begin{pmatrix} 0 - \lambda & 1 - 0 & 1 - 0 \\ 1 - 0 & 1 - \lambda & 0 - 0 \\ 1 - 0 & 0 - 0 & 0 - \lambda \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\lambda & 1 & 1 \\ 1 & 1 - \lambda & 0 \\ 1 & 0 & -\lambda \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Multiplicar una matriz por un escalar $\lambda$ consiste en multiplicar cada uno de sus elementos por dicho escalar. Restar $\lambda I$ a una matriz $A$ equivale a restar $\lambda$ solo a los elementos $a_{ii}$ (diagonal). ✅ **Resultado:** $$\boxed{A - \lambda I = \begin{pmatrix} -\lambda & 1 & 1 \\ 1 & 1 - \lambda & 0 \\ 1 & 0 & -\lambda \end{pmatrix}}$$

**(b) Calculad la matriz $(A - \lambda I)^2$. (3 puntos)** Sea $M = A - \lambda I$. Debemos calcular $M^2 = M \cdot M$: $$M^2 = \begin{pmatrix} -\lambda & 1 & 1 \\ 1 & 1 - \lambda & 0 \\ 1 & 0 & -\lambda \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -\lambda & 1 & 1 \\ 1 & 1 - \lambda & 0 \\ 1 & 0 & -\lambda \end{pmatrix}$$ Calculamos cada elemento del producto (fila por columna): - $c_{11} = (-\lambda)(-\lambda) + (1)(1) + (1)(1) = \lambda^2 + 2$ - $c_{12} = (-\lambda)(1) + (1)(1-\lambda) + (1)(0) = -\lambda + 1 - \lambda = 1 - 2\lambda$ - $c_{13} = (-\lambda)(1) + (1)(0) + (1)(-\lambda) = -\lambda - \lambda = -2\lambda$ - $c_{21} = (1)(-\lambda) + (1-\lambda)(1) + (0)(1) = -\lambda + 1 - \lambda = 1 - 2\lambda$ - $c_{22} = (1)(1) + (1-\lambda)(1-\lambda) + (0)(0) = 1 + (1 - 2\lambda + \lambda^2) = \lambda^2 - 2\lambda + 2$ - $c_{23} = (1)(1) + (1-\lambda)(0) + (0)(-\lambda) = 1$ - $c_{31} = (1)(-\lambda) + (0)(1) + (-\lambda)(1) = -\lambda - \lambda = -2\lambda$ - $c_{32} = (1)(1) + (0)(1-\lambda) + (-\lambda)(0) = 1$ - $c_{33} = (1)(1) + (0)(0) + (-\lambda)(-\lambda) = 1 + \lambda^2$ 💡 **Tip:** El producto de matrices no es conmutativo en general, pero una matriz siempre conmuta con sus potencias. ✅ **Resultado:** $$\boxed{(A - \lambda I)^2 = \begin{pmatrix} \lambda^2 + 2 & 1 - 2\lambda & -2\lambda \\ 1 - 2\lambda & \lambda^2 - 2\lambda + 2 & 1 \\ -2\lambda & 1 & \lambda^2 + 1 \end{pmatrix}}$$

**(c) Calculad, si existen, los valores del parámetro $\lambda$ para los cuales se satisface la relación $(A - \lambda I)^2 = B$. (5 puntos)** Igualamos la matriz obtenida en el apartado anterior con la matriz $B$ proporcionada: $$\begin{pmatrix} \lambda^2 + 2 & 1 - 2\lambda & -2\lambda \\ 1 - 2\lambda & \lambda^2 - 2\lambda + 2 & 1 \\ -2\lambda & 1 & \lambda^2 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & -3 & -4 \\ -3 & 2 & 1 \\ -4 & 1 & 5 \end{pmatrix}$$ Dos matrices son iguales si y solo si todos sus elementos correspondientes son iguales. Esto nos genera un sistema de ecuaciones: 1) $\lambda^2 + 2 = 6 \implies \lambda^2 = 4 \implies \lambda = \pm 2$ 2) $1 - 2\lambda = -3 \implies -2\lambda = -4 \implies \lambda = 2$ 3) $-2\lambda = -4 \implies \lambda = 2$ 4) $\lambda^2 - 2\lambda + 2 = 2 \implies \lambda^2 - 2\lambda = 0 \implies \lambda(\lambda - 2) = 0 \implies \lambda = 0, \lambda = 2$ 5) $1 = 1$ (Siempre se cumple) 6) $\lambda^2 + 1 = 5 \implies \lambda^2 = 4 \implies \lambda = \pm 2$ Para que exista un valor de $\lambda$ que satisfaga la relación, dicho valor debe ser solución de **todas** las ecuaciones resultantes simultáneamente. Analizando las soluciones: - De la ec. (2) y (3) obtenemos necesariamente $\lambda = 2$. - Comprobamos si $\lambda = 2$ cumple las demás: - Ec (1): $2^2 + 2 = 4 + 2 = 6$ (Correcto) - Ec (4): $2^2 - 2(2) + 2 = 4 - 4 + 2 = 2$ (Correcto) - Ec (6): $2^2 + 1 = 4 + 1 = 5$ (Correcto) Por tanto, el valor común que satisface todas las condiciones es $\lambda = 2$. 💡 **Tip:** En sistemas de ecuaciones matriciales, es crucial verificar que el valor hallado sea válido para todos los elementos de la matriz, no solo para uno. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\lambda = 2}$$