Probabilidad en extracciones de urnas

Para resolver el problema, primero definimos los sucesos principales: - $A, B, C$: Elegir la urna $A$, $B$ o $C$ respectivamente. Al ser al azar, $P(A) = P(B) = P(C) = 1/3$. - $R_i$: Extraer una bola roja en la posición $i$ ($i=1, 2$). - $N_i$: Extraer una bola negra en la posición $i$ ($i=1, 2$). Como las extracciones son **sin reemplazamiento**, la composición de la urna cambia tras la primera extracción. A continuación, representamos la situación mediante un árbol de probabilidad:

**(a) Calculad la probabilidad de que la primera bola extraída sea roja. (3 puntos)** Utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. La probabilidad de que la primera bola sea roja ($R_1$) depende de qué urna hayamos elegido: $$P(R_1) = P(A) \cdot P(R_1|A) + P(B) \cdot P(R_1|B) + P(C) \cdot P(R_1|C)$$ Sustituimos los valores conocidos: - Urna A: $P(R_1|A) = \frac{4}{6}$ - Urna B: $P(R_1|B) = \frac{3}{6}$ - Urna C: $P(R_1|C) = \frac{0}{6} = 0$ $$P(R_1) = \left( \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{6} \right) + \left( \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{6} \right) + \left( \frac{1}{3} \cdot 0 \right)$$ $$P(R_1) = \frac{4}{18} + \frac{3}{18} + 0 = \frac{7}{18}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(R_1) = \frac{7}{18} \approx 0.3889}$$

**(b) Calculad la probabilidad de que la primera bola extraída sea roja y la segunda sea negra. (3 puntos)** Buscamos $P(R_1 \cap N_2)$. Esto ocurre si elegimos la urna A y sale roja-negra, o si elegimos la urna B y sale roja-negra (en la urna C no puede salir roja). $$P(R_1 \cap N_2) = P(A \cap R_1 \cap N_2) + P(B \cap R_1 \cap N_2)$$ Calculamos cada rama siguiendo el árbol: 1. Rama de A: $P(A) \cdot P(R_1|A) \cdot P(N_2|A \cap R_1)$ Como en A hay 4R y 2N, tras sacar una roja quedan 3R y 2N (total 5). $$P(A \cap R_1 \cap N_2) = \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{6} \cdot \frac{2}{5} = \frac{8}{90}$$ 2. Rama de B: $P(B) \cdot P(R_1|B) \cdot P(N_2|B \cap R_1)$ Como en B hay 3R y 3N, tras sacar una roja quedan 2R y 3N (total 5). $$P(B \cap R_1 \cap N_2) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{6} \cdot \frac{3}{5} = \frac{9}{90}$$ Sumamos ambas probabilidades: $$P(R_1 \cap N_2) = \frac{8}{90} + \frac{9}{90} = \frac{17}{90}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que al extraer sin reemplazamiento, el denominador del segundo factor baja de 6 a 5. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(R_1 \cap N_2) = \frac{17}{90} \approx 0.1889}$$

**(c) Sabiendo que la primera bola extraída es roja, calculad la probabilidad de que la segunda sea negra. (4 puntos)** Se nos pide la probabilidad condicionada $P(N_2 | R_1)$. Por definición de probabilidad condicionada: $$P(N_2 | R_1) = \frac{P(R_1 \cap N_2)}{P(R_1)}$$ Ya hemos calculado ambos valores en los apartados anteriores: - $P(R_1 \cap N_2) = \frac{17}{90}$ - $P(R_1) = \frac{7}{18}$ Sustituimos: $$P(N_2 | R_1) = \frac{\frac{17}{90}}{\frac{7}{18}} = \frac{17 \cdot 18}{90 \cdot 7}$$ Simplificamos dividiendo 90 entre 18 ($90 = 18 \cdot 5$): $$P(N_2 | R_1) = \frac{17}{5 \cdot 7} = \frac{17}{35}$$ 💡 **Tip:** Este tipo de ejercicios donde se pide una probabilidad condicionada "hacia adelante" en el tiempo tras conocer el resultado total del primer paso suele resolverse aplicando directamente la definición con los resultados de los apartados anteriores. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(N_2 | R_1) = \frac{17}{35} \approx 0.4857}$$