Probabilidad y Estadística 2022 Baleares
Probabilidad: Prueba diagnóstica y Teorema de Bayes
7. Una prueba diagnóstica de una enfermedad da resultado negativo el 5% de las veces que se aplica a un individuo que la padece y da positivo el 10% de las veces que se aplica a un individuo que no la padece. Las estadísticas muestran que dicha enfermedad afecta a 50 de cada 10000 personas. Si una persona elegida al azar se somete a la prueba diagnóstica, calculad las probabilidades siguientes:
(a) Que un individuo no padezca la enfermedad. (1 punto)
(b) Que la prueba dé resultado positivo. (3 puntos)
(c) Que la persona no padezca la enfermedad, si el resultado de la prueba es negativo. (3 puntos)
(d) Que el resultado de la prueba sea erróneo. (3 puntos)
Paso 1
Definición de sucesos y construcción del árbol de probabilidad
Para resolver el problema, primero definimos los sucesos principales y extraemos las probabilidades del enunciado:
- $E$: El individuo padece la enfermedad.
- $\bar{E}$: El individuo no padece la enfermedad.
- $Pos$: El resultado de la prueba es positivo.
- $Neg$: El resultado de la prueba es negativo.
**Datos proporcionados:**
- Prevalencia de la enfermedad: $P(E) = \dfrac{50}{10000} = 0,005$.
- Probabilidad de falso negativo: $P(Neg | E) = 0,05 \implies P(Pos | E) = 0,95$ (Sensibilidad).
- Probabilidad de falso positivo: $P(Pos | \bar{E}) = 0,10 \implies P(Neg | \bar{E}) = 0,90$ (Especificidad).
Representamos la situación mediante un árbol de probabilidad:
Paso 2
Cálculo de la probabilidad de no padecer la enfermedad
**(a) Que un individuo no padezca la enfermedad. (1 punto)**
La probabilidad de no padecer la enfermedad es el suceso complementario a padecerla. Como sabemos que la enfermedad afecta a 50 de cada 10000 personas:
$$P(E) = \frac{50}{10000} = 0,005$$
La probabilidad de estar sano es:
$$P(\bar{E}) = 1 - P(E) = 1 - 0,005 = 0,995$$
💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de un suceso y su contrario siempre es 1: $P(A) + P(\bar{A}) = 1$.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(\bar{E}) = 0,995}$$
Paso 3
Cálculo de la probabilidad de resultado positivo
**(b) Que la prueba dé resultado positivo. (3 puntos)**
Para calcular la probabilidad de que la prueba sea positiva, utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**, considerando los dos caminos que llevan a un resultado positivo (estar enfermo y dar positivo, o estar sano y dar positivo):
$$P(Pos) = P(E) \cdot P(Pos | E) + P(\bar{E}) \cdot P(Pos | \bar{E})$$
Sustituimos los valores obtenidos anteriormente:
$$P(Pos) = (0,005 \cdot 0,95) + (0,995 \cdot 0,10)$$
$$P(Pos) = 0,00475 + 0,0995 = 0,10425$$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(Pos) = 0,10425}$$
Paso 4
Probabilidad condicionada: Estar sano dado un resultado negativo
**(c) Que la persona no padezca la enfermedad, si el resultado de la prueba es negativo. (3 puntos)**
Se nos pide la probabilidad condicionada $P(\bar{E} | Neg)$. Aplicamos el **Teorema de Bayes**:
$$P(\bar{E} | Neg) = \frac{P(\bar{E} \cap Neg)}{P(Neg)} = \frac{P(\bar{E}) \cdot P(Neg | \bar{E})}{P(Neg)}$$
Primero calculamos $P(Neg)$ como el complementario de $P(Pos)$ calculado en el apartado anterior:
$$P(Neg) = 1 - P(Pos) = 1 - 0,10425 = 0,89575$$
Ahora aplicamos la fórmula:
$$P(\bar{E} | Neg) = \frac{0,995 \cdot 0,90}{0,89575} = \frac{0,8955}{0,89575} \approx 0,99972$$
💡 **Tip:** El Teorema de Bayes nos permite "invertir" la condicionalidad: calcular la probabilidad de la causa (estar sano) dado el efecto (test negativo).
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(\bar{E} | Neg) \approx 0,9997}$$
Paso 5
Cálculo de la probabilidad de error
**(d) Que el resultado de la prueba sea erróneo. (3 puntos)**
Un resultado es erróneo en dos casos:
1. El individuo padece la enfermedad pero la prueba da negativo (**Falso Negativo**).
2. El individuo no padece la enfermedad pero la prueba da positivo (**Falso Positivo**).
$$P(\text{Error}) = P(E \cap Neg) + P(\bar{E} \cap Pos)$$
$$P(\text{Error}) = P(E) \cdot P(Neg | E) + P(\bar{E}) \cdot P(Pos | \bar{E})$$
Sustituimos los valores:
$$P(\text{Error}) = (0,005 \cdot 0,05) + (0,995 \cdot 0,10)$$
$$P(\text{Error}) = 0,00025 + 0,0995 = 0,09975$$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(\text{Error}) = 0,09975}$$