Geometría en el espacio: planos, perpendicularidad y volúmenes

**(a) Comprobad que los puntos $A, B$ y $C$ determinan un único plano, $\pi$. (2 puntos)** Tres puntos determinan un único plano si no están alineados. Para comprobarlo, calculamos los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$ y verificamos que no son proporcionales. Calculamos los componentes de los vectores: $$\vec{AB} = B - A = (0-1, 0-1, -2-1) = (-1, -1, -3)$$ $$\vec{AC} = C - A = (2-1, -1-1, 0-1) = (1, -2, -1)$$ Comprobamos la proporcionalidad: $$\frac{-1}{1} \neq \frac{-1}{-2} \neq \frac{-3}{-1} \implies -1 \neq 0.5 \neq 3$$ Como sus coordenadas no son proporcionales, los vectores son linealmente independientes. Por tanto, los puntos $A, B$ y $C$ no están alineados y definen un **único plano $\pi$**. 💡 **Tip:** Tres puntos definen un plano si los vectores formados por ellos tienen rango 2.

Aunque el enunciado solo pide comprobar la existencia, necesitaremos la ecuación del plano $\pi$ para los siguientes apartados. El vector normal al plano $\vec{n_\pi}$ se obtiene mediante el producto vectorial $\vec{AB} \times \vec{AC}$: $$\vec{n_\pi} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & -1 & -3 \\ 1 & -2 & -1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante: $$\vec{n_\pi} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} -1 & -3 \\ -2 & -1 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} -1 & -3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} -1 & -1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix}$$ $$\vec{n_\pi} = \mathbf{i}(1 - 6) - \mathbf{j}(1 + 3) + \mathbf{k}(2 + 1) = (-5, -4, 3)$$ La ecuación del plano es del tipo $-5x - 4y + 3z + D = 0$. Sustituimos el punto $A(1, 1, 1)$: $$-5(1) - 4(1) + 3(1) + D = 0 \implies -5 - 4 + 3 + D = 0 \implies D = 6$$ Por tanto, la ecuación del plano es: $$\boxed{\pi: 5x + 4y - 3z - 6 = 0}$$

**(b) Averiguad si el triángulo de vértices $A, B$ y $C$ es rectángulo en el vértice $A$. (3 puntos)** Para que el triángulo sea rectángulo en el vértice $A$, los vectores que parten de ese vértice, $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$, deben ser perpendiculares. Esto ocurre si su producto escalar es cero. Recuperamos los vectores calculados anteriormente: $$\vec{AB} = (-1, -1, -3)$$ $$\vec{AC} = (1, -2, -1)$$ Calculamos el producto escalar: $$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-1) \cdot 1 + (-1) \cdot (-2) + (-3) \cdot (-1)$$ $$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = -1 + 2 + 3 = 4$$ Como $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 4 \neq 0$, los vectores no son ortogonales. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El triángulo no es rectángulo en el vértice } A}$$

**(c) Hallad el ángulo que forma la recta que pasa por los puntos $A$ y $D$ con el plano $\pi$. (3 puntos)** Sea $r$ la recta que pasa por $A$ y $D$. Su vector director es $\vec{v_r} = \vec{AD}$: $$\vec{v_r} = D - A = (-1-1, 2-1, -1-1) = (-2, 1, -2)$$ El ángulo $\alpha$ entre una recta y un plano se calcula mediante el seno, relacionando el vector director de la recta y el normal del plano $\vec{n_\pi} = (5, 4, -3)$: $$\sin \alpha = \frac{|\vec{v_r} \cdot \vec{n_\pi}|}{|\vec{v_r}| \cdot |\vec{n_\pi}|}$$ Calculamos los elementos: - Producto escalar: $|(-2) \cdot 5 + 1 \cdot 4 + (-2) \cdot (-3)| = |-10 + 4 + 6| = 0$ Como el producto escalar es **0**, esto implica que el vector director de la recta es perpendicular al vector normal del plano. $$\sin \alpha = 0 \implies \alpha = 0^\circ$$ 💡 **Tip:** Si el ángulo es $0^\circ$, la recta es paralela al plano o está contenida en él. Como el punto $A$ de la recta pertenece al plano, la recta está contenida en $\pi$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\alpha = 0^\circ}$$

**(d) Calculad el volumen del tetraedro definido por los vectores $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ y $\vec{AD}$. (2 puntos)** El volumen de un tetraedro definido por tres vectores es un sexto del valor absoluto de su producto mixto: $$V = \frac{1}{6} | [\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}] |$$ Calculamos el producto mixto mediante el determinante de los tres vectores: $$[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}] = \begin{vmatrix} -1 & -1 & -3 \\ 1 & -2 & -1 \\ -2 & 1 & -2 \end{vmatrix}$$ Aplicamos la regla de Sarrus: $$= [(-1)(-2)(-2) + (1)(1)(-3) + (-2)(-1)(-1)] - [(-3)(-2)(-2) + (-1)(1)(-1) + (-2)(1)(-1)]$$ $$= [-4 - 3 - 2] - [-12 + 1 + 2] = -9 - (-9) = 0$$ El volumen es: $$V = \frac{1}{6} |0| = 0 \text{ u}^3$$ Esto confirma el resultado del apartado anterior: al ser el producto mixto 0, los cuatro puntos son coplanarios (están en el mismo plano), por lo que no forman un cuerpo con volumen. ✅ **Resultado:** $$\boxed{V = 0 \text{ u}^3}$$