Estudio de la posición relativa de recta y plano con parámetros

**(a) el punto $P$ pertenece a la recta $r$. (1 punto)** Para que un punto pertenezca a una recta, sus coordenadas deben satisfacer simultáneamente las ecuaciones que definen dicha recta. Sustituimos las coordenadas de $P(1, 1, 0)$ en las ecuaciones de $r$: 1. Primera ecuación: $x - y = 0 \implies 1 - 1 = 0 \implies 0 = 0$. (Se cumple siempre). 2. Segunda ecuación: $x - az = 1 \implies 1 - a(0) = 1 \implies 1 = 1$. (Se cumple siempre). Como ambas igualdades son ciertas independientemente del valor de $a$, el punto $P$ pertenece a la recta para cualquier valor real. 💡 **Tip:** Un punto $P$ pertenece a una recta $r$ definida como intersección de dos planos si pertenece a ambos planos a la vez. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\forall a \in \mathbb{R}}$$

**(b) la recta $r$ y el plano $\pi$ se cortan en un único punto. (3 puntos)** Para que la recta y el plano se corten en un único punto, el sistema formado por sus ecuaciones debe ser un **Sistema Compatible Determinado (SCD)**. El sistema es: $$\begin{cases} x - y = 0 \\ x - az = 1 \\ 3x - 2y - z = 4 \end{cases}$$ Escribimos la matriz de coeficientes $M$: $$M = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -a \\ 3 & -2 & -1 \end{pmatrix}$$ Calculamos su determinante para ver cuándo el rango es 3: $$\det(M) = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -a \\ 3 & -2 & -1 \end{vmatrix} = [1 \cdot 0 \cdot (-1) + (-1) \cdot (-a) \cdot 3 + 1 \cdot (-2) \cdot 0] - [3 \cdot 0 \cdot 0 + (-2) \cdot (-a) \cdot 1 + 1 \cdot (-1) \cdot (-1)]$$ $$\det(M) = [0 + 3a + 0] - [0 + 2a + 1] = 3a - 2a - 1 = a - 1$$ Para que sea SCD, necesitamos $\det(M) \neq 0$: $$a - 1 \neq 0 \implies a \neq 1$$ 💡 **Tip:** Según el Teorema de Rouché-Frobenius, si $\text{rg}(M) = \text{rg}(M^*) = 3$ (número de incógnitas), el sistema tiene solución única. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a \neq 1}$$

**(c) la recta $r$ está contenida en el plano $\pi$. (3 puntos)** Para que la recta esté contenida en el plano, el sistema debe ser **Sistema Compatible Indeterminado (SCI)**. Esto requiere que $\text{rg}(M) = \text{rg}(M^*) < 3$. Del apartado anterior, sabemos que si $a = 1$, el $\text{rg}(M) < 3$. Comprobamos el rango de la matriz ampliada $M^*$ para $a = 1$: $$M^* = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 1 \\ 3 & -2 & -1 & 4 \end{pmatrix}$$ Calculamos un menor de orden 3 usando la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 3 & -2 & 4 \end{vmatrix} = [0 - 3 + 0] - [0 - 2 - 4] = -3 - (-6) = 3 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 3 no nulo, $\text{rg}(M^*) = 3$. Al ser $\text{rg}(M) = 2$ y $\text{rg}(M^*) = 3$, el sistema es **Incompatible** (la recta es paralela al plano). 💡 **Tip:** Si el sistema es incompatible, la recta y el plano no tienen puntos en común (son paralelos). Para que la recta esté contenida, el sistema debería tener infinitas soluciones. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\n\text{No existe ningún valor de } a }$$

**(d) la recta $r$ es perpendicular al plano $\pi$. (3 puntos)** Para que la recta $r$ sea perpendicular al plano $\pi$, el vector director de la recta $\vec{d}_r$ debe ser paralelo (proporcional) al vector normal del plano $\vec{n}_\pi = (3, -2, -1)$. Hallamos $\vec{d}_r$ mediante el producto vectorial de los normales de los planos que definen la recta: $$\vec{n}_1 = (1, -1, 0), \quad \vec{n}_2 = (1, 0, -a)$$ $$\vec{d}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -a \end{vmatrix} = \vec{i}(a - 0) - \vec{j}(-a - 0) + \vec{k}(0 - (-1)) = (a, a, 1)$$ Condición de proporcionalidad con $\vec{n}_\pi = (3, -2, -1)$: $$\frac{a}{3} = \frac{a}{-2} = \frac{1}{-1}$$ De la última igualdad obtenemos que la razón de proporcionalidad debe ser $-1$: 1. $\frac{a}{3} = -1 \implies a = -3$ 2. $\frac{a}{-2} = -1 \implies a = 2$ Como $a$ no puede valer $-3$ y $2$ al mismo tiempo, no existe ningún valor de $a$ que haga la recta perpendicular al plano. 💡 **Tip:** Dos vectores son paralelos si sus componentes son proporcionales. Si una de las proporciones falla, no hay paralelismo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No existe ningún valor de } a}$$