Estudio de función con raíz cúbica y Teorema de Rolle

**(a) Calculad el dominio y los puntos de corte de la gráfica de la función con los ejes. (2 puntos)** Para el dominio, observamos que la función es $f(x) = 1 - \sqrt[3]{x^2}$. Al ser una raíz de índice impar (raíz cúbica), el radicando $x^2$ puede tomar cualquier valor real, positivo, negativo o cero. Como $x^2$ está definido para todo $\mathbb{R}$, el dominio de la función es: $$\text{Dom}(f) = \mathbb{R}$$ **Puntos de corte:** 1. **Con el eje Y (ordenadas):** Hacemos $x = 0$. $$f(0) = 1 - \sqrt[3]{0^2} = 1 - 0 = 1 \implies \mathbf{(0, 1)}$$ 2. **Con el eje X (abscisas):** Hacemos $f(x) = 0$. $$1 - \sqrt[3]{x^2} = 0 \implies \sqrt[3]{x^2} = 1$$ Elevamos al cubo ambos miembros: $$x^2 = 1^3 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm \sqrt{1} = \pm 1$$ Los puntos son $\mathbf{(-1, 0)}$ y $\mathbf{(1, 0)}$. 💡 **Tip:** Recuerda que las raíces de índice impar no presentan restricciones de signo en el radicando, a diferencia de las raíces cuadradas o de índice par. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Dominio: } \mathbb{R} \quad \text{Cortes: } (0, 1), (-1, 0), (1, 0)}$$

**(b) Calculad la derivada de la función y obtened los intervalos de crecimiento y decrecimiento. (2 puntos)** Para derivar, expresamos la raíz como potencia: $f(x) = 1 - x^{2/3}$. $$f'(x) = 0 - \frac{2}{3}x^{\frac{2}{3}-1} = -\frac{2}{3}x^{-1/3} = -\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$$ La derivada no existe en $x=0$ (anula el denominador), pero la función es continua allí. Estudiamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por este punto crítico: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, +\infty) \\ \hline f'(x) & + & \nexists & - \\ \hline f(x) & \text{Creciente } (\nearrow) & \text{Máximo} & \text{Decreciente } (\searrow) \end{array}$$ - En $(-\infty, 0)$: Si $x < 0$, $\sqrt[3]{x}$ es negativo, por lo que $f'(x) = -\frac{2}{3(\text{negativo})} > 0$. La función **crece**. - En $(0, +\infty)$: Si $x > 0$, $\sqrt[3]{x}$ es positivo, por lo que $f'(x) = -\frac{2}{3(\text{positivo})} < 0$. La función **decrece**. 💡 **Tip:** Cuando una función es continua en un punto pero su derivada no existe (y cambia de signo), solemos encontrar un punto anguloso o "pico". ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Crecimiento: } (-\infty, 0) \quad \text{Decrecimiento: } (0, +\infty)}$$

**(c) Comprobad que $f(-1) = f(1)$ y que $f'(x)$ no es nunca cero en el intervalo $[-1, 1]$. ¿Contradice este hecho el teorema de Rolle? (3 puntos)** Primero, comprobamos los valores: $f(-1) = 1 - \sqrt[3]{(-1)^2} = 1 - 1 = 0$ $f(1) = 1 - \sqrt[3]{1^2} = 1 - 1 = 0$ Efectivamente, **$f(-1) = f(1) = 0$**. Respecto a la derivada, $f'(x) = -\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$. Para que $f'(x)=0$, el numerador debería ser cero, lo cual es imposible ($-2 \neq 0$). Por tanto, **$f'(x)$ nunca es cero**. **¿Contradice el Teorema de Rolle?** El Teorema de Rolle exige que la función sea: 1. Continua en $[a, b]$. 2. **Derivable** en $(a, b)$. En nuestro caso, $f(x)$ es continua en $[-1, 1]$, pero no es derivable en el punto $x = 0$, ya que $\lim_{x\to 0} f'(x) = \pm \infty$. Como $0 \in (-1, 1)$, no se cumple la segunda hipótesis. **Conclusión:** No hay contradicción. El teorema de Rolle simplemente no es aplicable porque no se cumplen sus hipótesis de partida. 💡 **Tip:** Para aplicar Rolle o el Valor Medio, la función debe ser derivable en *todos* los puntos del intervalo abierto. Un solo punto de no derivabilidad invalida la aplicación directa del teorema.

**(d) Realizad un esbozo de la gráfica de la función $y = f(x)$. (3 puntos)** Resumimos la información para el dibujo: - Puntos de corte: $(-1, 0), (0, 1), (1, 0)$. - Es una función par ($f(-x) = f(x)$), por lo que es simétrica respecto al eje Y. - Tiene un máximo relativo (y absoluto) en $(0, 1)$, que es un punto anguloso (un "pico"). - $\lim_{x \to \pm\infty} (1 - \sqrt[3]{x^2}) = -\infty$, por lo que la función cae hacia abajo en ambos extremos. Aquí tienes la representación visual: