Área limitada por una parábola y una recta

**(a) Representadlas gráficamente en un mismo sistema de coordenadas. (5 puntos)** Para representar las funciones, analizamos sus características principales: 1. **Función $f(x) = x^2 - 4x$ (Parábola):** * Es una parábola con las ramas hacia arriba ($a=1 \gt 0$). * **Vértice:** La abscisa es $x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{4}{2} = 2$. La ordenada es $f(2) = 2^2 - 4(2) = -4$. Vértice en **$(2, -4)$**. * **Puntos de corte con el eje OX:** $x^2 - 4x = 0 \implies x(x-4) = 0$, lo que da los puntos **$(0, 0)$** y **$(4, 0)$**. 2. **Función $g(x) = 4 - 4x$ (Recta):** * Es una función lineal con pendiente $m = -4$. * **Puntos de corte:** Si $x=0, y=4 \implies$ **$(0, 4)$**. Si $y=0, 4-4x=0 \implies x=1 \implies$ **$(1, 0)$**. 💡 **Tip:** Para dibujar una parábola con precisión, localiza siempre el vértice y los puntos de corte con los ejes. Para la recta, con dos puntos es suficiente.

**(b) Calculad los puntos de corte de ambas gráficas. (2 puntos)** Para hallar los puntos de corte, igualamos ambas expresiones $f(x) = g(x)$: $$x^2 - 4x = 4 - 4x$$ Sumamos $4x$ en ambos lados de la ecuación: $$x^2 = 4$$ $$x = \pm \sqrt{4} \implies x_1 = -2, \quad x_2 = 2$$ Ahora calculamos la coordenada $y$ para cada punto sustituyendo en cualquiera de las funciones (usaremos $g(x)$ por ser más sencilla): * Para $x_1 = -2$: $y_1 = g(-2) = 4 - 4(-2) = 4 + 8 = 12$. * Para $x_2 = 2$: $y_2 = g(2) = 4 - 4(2) = 4 - 8 = -4$. ✅ **Resultado (puntos de corte):** $$\boxed{P_1(-2, 12) \quad \text{y} \quad P_2(2, -4)}$$

**(c) Calculad el área del recinto limitado por las gráficas de ambas funciones. (3 puntos)** El área del recinto limitado por dos funciones se calcula mediante la integral definida de la diferencia de las funciones (la superior menos la inferior) entre los puntos de corte hallados anteriormente. Observando la gráfica o evaluando un punto intermedio (por ejemplo $x=0$): * $f(0) = 0$ * $g(0) = 4$ Como $g(0) \gt f(0)$, la función **$g(x)$ queda por encima** de $f(x)$ en el intervalo $(-2, 2)$. El área $A$ es: $$A = \int_{-2}^{2} [g(x) - f(x)] \, dx$$ $$A = \int_{-2}^{2} [(4 - 4x) - (x^2 - 4x)] \, dx$$ $$A = \int_{-2}^{2} (4 - 4x - x^2 + 4x) \, dx = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) \, dx$$ 💡 **Tip:** El área siempre debe ser un valor positivo. Si al integrar obtienes un valor negativo, es probable que hayas restado las funciones en el orden inverso.

Calculamos la integral indefinida: $$\int (4 - x^2) \, dx = 4x - \frac{x^3}{3}$$ Aplicamos la **Regla de Barrow** entre los límites de integración $x=-2$ y $x=2$: $$A = \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{2}$$ Calculamos los valores en los extremos: * Para $x=2$: $F(2) = 4(2) - \frac{2^3}{3} = 8 - \frac{8}{3} = \frac{24-8}{3} = \frac{16}{3}$ * Para $x=-2$: $F(-2) = 4(-2) - \frac{(-2)^3}{3} = -8 - \frac{-8}{3} = -8 + \frac{8}{3} = \frac{-24+8}{3} = -\frac{16}{3}$ Restamos los valores: $$A = F(2) - F(-2) = \frac{16}{3} - \left( -\frac{16}{3} \right) = \frac{16}{3} + \frac{16}{3} = \frac{32}{3}$$ ✅ **Resultado (área):** $$\boxed{A = \frac{32}{3} \approx 10.67 \text{ unidades de área}}$$