Sistema de ecuaciones lineales: Venta de vehículos

**(a) Plantead un sistema de ecuaciones con las condiciones del problema, en función del nombre de vehículos vendidos de cada modelo. (3 puntos)** Primero, definimos las variables que representan las incógnitas del problema: - $x$: número de vehículos vendidos del modelo $A$. - $y$: número de vehículos vendidos del modelo $B$. - $z$: número de vehículos vendidos del modelo $C$. A partir del enunciado, establecemos las ecuaciones: 1. El total de vehículos es 21000: $$x + y + z = 21000$$ 2. El total de ventas es 332 millones de euros ($332,000,000 \, \text{€}$): $$10000x + 15000y + 20000z = 332,000,000$$ Simplificamos dividiendo toda la ecuación por $5000$: $$2x + 3y + 4z = 66400$$ 3. La relación con el parámetro $\lambda$ (vehículos del modelo $B$ más $\lambda$ veces los del $A$ suman 21000): $$\lambda x + y = 21000$$ 💡 **Tip:** Simplificar las ecuaciones siempre que sea posible facilita enormemente los cálculos posteriores y reduce el riesgo de errores aritméticos. El sistema planteado es: $$\boxed{\begin{cases} x + y + z = 21000 \\ 2x + 3y + 4z = 66400 \\ \lambda x + y = 21000 \end{cases}}$$

**(b) Calculad el número de vehículos vendidos de cada modelo, suponiendo $\lambda = 3$. (3 puntos)** Sustituimos $\lambda = 3$ en el sistema: $$\begin{cases} x + y + z = 21000 & (1) \\ 2x + 3y + 4z = 66400 & (2) \\ 3x + y = 21000 & (3) \end{cases}$$ Resolvemos por sustitución. De la ecuación (3) despejamos $y$: $$y = 21000 - 3x$$ Sustituimos $y$ en la ecuación (1) para despejar $z$ en función de $x$: $$x + (21000 - 3x) + z = 21000 \implies -2x + z = 0 \implies z = 2x$$ Ahora sustituimos $y$ y $z$ en la ecuación (2): $$2x + 3(21000 - 3x) + 4(2x) = 66400$$ $$2x + 63000 - 9x + 8x = 66400$$ $$x + 63000 = 66400 \implies x = 3400$$ Calculamos el resto de variables: - $z = 2(3400) = 6800$ - $y = 21000 - 3(3400) = 21000 - 10200 = 10800$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = 3400, \, y = 10800, \, z = 6800}$$

**(c) Determinad si existe algún valor del parámetro $\lambda$ para el cual la situación anterior no se pueda dar. (4 puntos)** Para analizar si el sistema tiene solución, utilizamos el **Teorema de Rouché-Frobenius**. Escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 4 \\ \lambda & 1 & 0 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 21000 \\ 2 & 3 & 4 & 66400 \\ \lambda & 1 & 0 & 21000 \end{array}\right)$$ Calculamos el determinante de $A$ por la regla de Sarrus: $$|A| = (1 \cdot 3 \cdot 0) + (1 \cdot 4 \cdot \lambda) + (1 \cdot 2 \cdot 1) - (1 \cdot 3 \cdot \lambda) - (1 \cdot 2 \cdot 0) - (1 \cdot 4 \cdot 1)$$ $$|A| = 0 + 4\lambda + 2 - 3\lambda - 0 - 4 = \lambda - 2$$ Igualamos a cero para encontrar el valor crítico: $$\lambda - 2 = 0 \implies \lambda = 2$$ **Caso 1: $\lambda \neq 2$** $|A| \neq 0 \implies \text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 3$. El sistema es **Compatible Determinado** (tiene solución única). **Caso 2: $\lambda = 2$** Si $\lambda = 2$, el rango de $A$ es 2. Estudiamos el rango de $A^*$ sustituyendo $\lambda$ y buscando un menor de orden 3: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 21000 \\ 2 & 3 & 4 & 66400 \\ 2 & 1 & 0 & 21000 \end{array}\right)$$ Tomamos el menor formado por las columnas 1, 2 y 4: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 21000 \\ 2 & 3 & 66400 \\ 2 & 1 & 21000 \end{vmatrix} = (63000 + 132800 + 42000) - (126000 + 66400 + 42000) = 237800 - 234400 = 3400 \neq 0$$ Como este determinante es distinto de cero, $\text{rango}(A^*) = 3$. Dado que $\text{rango}(A) = 2 \neq \text{rango}(A^*) = 3$, el sistema es **Incompatible**. 💡 **Tip:** Un sistema es incompatible cuando las ecuaciones representan condiciones contradictorias que no pueden cumplirse simultáneamente. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Para } \lambda = 2 \text{ la situación no se puede dar (sistema incompatible).}}$$