Matrices: Determinantes, Rango, Inversa y Ecuaciones Matriciales

**(a) Calculad el determinante de la matriz $A$. (1 punto)** Para calcular el determinante de la matriz $A$ de orden $3 \times 3$, utilizaremos la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ \lambda & 2 & -1 \\ 2 & \lambda & -1 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [ (1)(2)(-1) + (1)(-1)(2) + (-1)(\lambda)(\lambda) ] - [ (2)(2)(-1) + (\lambda)(-1)(1) + (-1)(\lambda)(1) ]$$ Operamos los términos: $$|A| = [ -2 - 2 - \lambda^2 ] - [ -4 - \lambda - \lambda ]$$ $$|A| = -4 - \lambda^2 - ( -4 - 2\lambda ) = -4 - \lambda^2 + 4 + 2\lambda$$ $$|A| = -\lambda^2 + 2\lambda$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la regla de Sarrus consiste en sumar los productos de la diagonal principal y sus paralelas, y restar los productos de la diagonal secundaria y sus paralelas. ✅ **Resultado:** $$\boxed{|A| = -\lambda^2 + 2\lambda}$$

**(b) En función del parámetro $\lambda$, calculad el rango de la matriz $A$. (3 puntos)** El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo. Primero buscamos los valores de $\lambda$ que anulan el determinante: $$-\lambda^2 + 2\lambda = 0 \implies \lambda(2 - \lambda) = 0 \implies \lambda = 0, \quad \lambda = 2$$ Analizamos los casos: 1. **Si $\lambda \neq 0$ y $\lambda \neq 2$**: Como el determinante $|A| \neq 0$, la matriz tiene rango 3. $$\text{rango}(A) = 3$$ 2. **Si $\lambda = 0$**: La matriz queda $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & -1 \\ 2 & 0 & -1 \end{pmatrix}$. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 2 \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 2$$ 3. **Si $\lambda = 2$**: La matriz queda $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & 2 & -1 \\ 2 & 2 & -1 \end{pmatrix}$. Observamos que las filas 2 y 3 son iguales (y las columnas 1 y 2 son iguales). Buscamos un menor de orden 2: $$\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = -1 + 2 = 1 \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 2$$ 💡 **Tip:** El rango de una matriz nunca puede ser mayor que su número de filas o columnas. En este caso, al ser $3 \times 3$, el rango máximo es 3. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } \lambda \in \mathbb{R} \setminus \{0, 2\}, & \text{rango}(A) = 3 \\ \text{Si } \lambda = 0 \text{ o } \lambda = 2, & \text{rango}(A) = 2 \end{cases}}$$

**(c) Para el valor de $\lambda = 1$, calculad la matriz inversa de $A$, $A^{-1}$. (3 puntos)** Si $\lambda = 1$, la matriz es $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix}$. Calculamos su determinante: $|A| = -(1)^2 + 2(1) = 1$. La fórmula de la inversa es $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A)^t$. Hallamos los adjuntos de los elementos de $A$: - $A_{11} = +\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -2+1 = -1$ - $A_{12} = -\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = -(-1+2) = -1$ - $A_{13} = +\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1-4 = -3$ - $A_{21} = -\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = -1+2 = 1$ - $A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -(1-2) = 1$ - $A_{31} = +\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = -1+2 = 1$ - $A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 2-1 = 1$ La matriz adjunta es: $\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} -1 & -1 & -3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$. Transponemos la adjunta: $\text{Adj}(A)^t = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ -3 & 1 & 1 \end{pmatrix}$. Como $|A|=1$, la inversa es directamente la adjunta traspuesta: ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ -3 & 1 & 1 \end{pmatrix}}$$

**(d) Para el valor de $\lambda = 1$, resolved la ecuación matricial $XA = B$. (3 puntos)** Para despejar $X$ en la ecuación $XA = B$, multiplicamos por la derecha por $A^{-1}$ en ambos lados: $$XA \cdot A^{-1} = B \cdot A^{-1} \implies X = B \cdot A^{-1}$$ Para $\lambda = 1$, tenemos $B = ( 1 \quad 3 \quad 6 )$. Calculamos el producto: $$X = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ -3 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} 1(-1)+3(-1)+6(-3) & 1(0)+3(1)+6(1) & 1(1)+3(0)+6(1) \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} -1 - 3 - 18 & 0 + 3 + 6 & 1 + 0 + 6 \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} -22 & 9 & 7 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** En ecuaciones matriciales, el orden del producto es fundamental. Como la matriz $A$ multiplica a $X$ por la derecha, debemos multiplicar por $A^{-1}$ por la derecha. ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = ( -22 \quad 9 \quad 7 )}$$