Distribución Normal: Cálculo de Probabilidades y Parámetros

**a) Calcule el valor de $P(-2 \leq X \leq 7)$ si $X$ sigue una distribución normal de media 1 y desviación típica 3.** En primer lugar, identificamos los parámetros de la distribución normal dada: - Media: $\mu = 1$ - Desviación típica: $\sigma = 3$ Por tanto, $X \sim N(1, 3)$. Para calcular probabilidades en una normal no estándar, debemos realizar un cambio de variable llamado **tipificación**, utilizando la fórmula: $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{X - 1}{3}$$ Donde $Z \sim N(0, 1)$ es la distribución normal estándar que aparece en las tablas. 💡 **Tip:** Recuerda que tipificar permite transformar cualquier $N(\mu, \sigma)$ en una $N(0, 1)$ para poder usar la tabla de áreas bajo la curva.

Aplicamos la tipificación a los límites del intervalo $[-2, 7]$: - Para $x = -2$: $z_1 = \frac{-2 - 1}{3} = \frac{-3}{3} = -1$ - Para $x = 7$: $z_2 = \frac{7 - 1}{3} = \frac{6}{3} = 2$ Así, la probabilidad pedida se transforma en: $$P(-2 \leq X \leq 7) = P(-1 \leq Z \leq 2)$$ Para resolver la probabilidad de un intervalo $[a, b]$, usamos la propiedad: $$P(a \leq Z \leq b) = P(Z \leq b) - P(Z \leq a)$$ En nuestro caso: $$P(-1 \leq Z \leq 2) = P(Z \leq 2) - P(Z \leq -1)$$

Debemos calcular $P(Z \leq 2)$ y $P(Z \leq -1)$ utilizando la simetría de la campana de Gauss: 1. Buscamos en la tabla: $P(Z \leq 2) = 0.9772$. 2. Para el valor negativo: $P(Z \leq -1) = 1 - P(Z \leq 1)$. Buscamos $P(Z \leq 1) = 0.8413$, luego: $$P(Z \leq -1) = 1 - 0.8413 = 0.1587.$$ Sustituimos ambos valores en la resta: $$P(-2 \leq X \leq 7) = 0.9772 - 0.1587 = 0.8185.$$ ✅ **Resultado (apartado a):** $$\boxed{P(-2 \leq X \leq 7) = 0.8185}$$

**b) Calcule el valor de $\alpha$ que hace que $P(\mu - \alpha \leq X \leq \mu + \alpha) = 0.8064$ si $X$ sigue una distribución normal de media $\mu$ y desviación típica 4.** En este caso conocemos la probabilidad y buscamos el valor del parámetro $\alpha$. Los datos son: - Media: $\mu$ - Desviación típica: $\sigma = 4$ - $X \sim N(\mu, 4)$ Tipificamos la expresión dentro de la probabilidad restando la media $\mu$ y dividiendo por $\sigma=4$: $$P\left(\frac{(\mu - \alpha) - \mu}{4} \leq Z \leq \frac{(\mu + \alpha) - \mu}{4}\right) = 0.8064$$ Simplificando los términos $\mu$: $$P\left(-\frac{\alpha}{4} \leq Z \leq \frac{\alpha}{4}\right) = 0.8064$$

Llamemos $k = \frac{\alpha}{4}$. Tenemos una probabilidad centrada de la forma $P(-k \leq Z \leq k) = 0.8064$. Usando la propiedad de simetría: $$P(-k \leq Z \leq k) = P(Z \leq k) - P(Z \leq -k)$$ $$P(Z \leq k) - (1 - P(Z \leq k)) = 2 \cdot P(Z \leq k) - 1$$ Igualamos al valor dado: $$2 \cdot P(Z \leq k) - 1 = 0.8064$$ $$2 \cdot P(Z \leq k) = 1.8064$$ $$P(Z \leq k) = \frac{1.8064}{2} = 0.9032$$ 💡 **Tip:** En una distribución normal, el área central se calcula siempre como $2 \cdot P(Z \leq k) - 1$.

Ahora buscamos el valor $0.9032$ en el interior de la tabla de la distribución normal estándar $N(0, 1)$ para hallar $k$: Al buscar $0.9032$, encontramos que corresponde exactamente a un valor de $z = 1.30$. Por tanto: $$k = 1.30$$ Como habíamos definido que $k = \frac{\alpha}{4}$, despejamos $\alpha$: $$\frac{\alpha}{4} = 1.30 \implies \alpha = 1.30 \cdot 4 = 5.2$$ ✅ **Resultado (apartado b):** $$\boxed{\alpha = 5.2}$$