Probabilidad: Sucesos incompatibles, independientes y condicionada

**a) Si $P(A \cup B) = \frac{1}{3}$ y $P(B) = \frac{1}{4}$, calcule $P(A)$ sabiendo que $A$ y $B$ son sucesos incompatibles. ¿Cuánto valdría $P(A)$ si supusiéramos que $A$ y $B$ son, en lugar de incompatibles, independientes?** Si dos sucesos $A$ y $B$ son **incompatibles**, por definición su intersección es vacía, por lo que su probabilidad es cero: $$P(A \cap B) = 0$$ Utilizamos la fórmula general de la probabilidad de la unión de dos sucesos: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$\frac{1}{3} = P(A) + \frac{1}{4} - 0$$ Despejamos $P(A)$: $$P(A) = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{4 - 3}{12} = \frac{1}{12}$$ 💡 **Tip:** Dos sucesos son incompatibles si no pueden ocurrir a la vez ($A \cap B = \emptyset$). ✅ **Resultado para sucesos incompatibles:** $$\boxed{P(A) = \frac{1}{12}}$$

Si los sucesos $A$ y $B$ son **independientes**, la probabilidad de su intersección es el producto de sus probabilidades individuales: $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$ Volvemos a aplicar la fórmula de la unión: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A) \cdot P(B)$$ Sustituimos los valores del enunciado: $$\frac{1}{3} = P(A) + \frac{1}{4} - P(A) \cdot \frac{1}{4}$$ Agrupamos los términos con $P(A)$ y pasamos las constantes al otro lado: $$\frac{1}{3} - \frac{1}{4} = P(A) \left( 1 - \frac{1}{4} \right)$$ $$\frac{1}{12} = P(A) \cdot \frac{3}{4}$$ Despejamos $P(A)$: $$P(A) = \frac{1/12}{3/4} = \frac{1 \cdot 4}{12 \cdot 3} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la independencia implica que el hecho de que ocurra uno no influye en la probabilidad del otro, matemáticamente $P(A|B) = P(A)$. ✅ **Resultado para sucesos independientes:** $$\boxed{P(A) = \frac{1}{9}}$$

**b) En una cierta ciudad, el 21% de las personas leen ciencia ficción, el 63% leen novela negra, y el 17% leen tanto ciencia ficción como novela negra. Si se elige al azar una persona de esa ciudad, calcule: La probabilidad de que lea novela negra sabiendo que lee ciencia ficción. La probabilidad de que no lea ni ciencia ficción ni novela negra.** Definimos los sucesos: - $C$: "Leer ciencia ficción". - $N$: "Leer novela negra". Datos en términos de probabilidad: - $P(C) = 0.21$ - $P(N) = 0.63$ - $P(C \cap N) = 0.17$ Para visualizar mejor los datos, elaboramos una **tabla de contingencia** (con los valores calculados completando hasta el total de 1.00): $$\begin{array}{c|cc|c} & N & \overline{N} & \text{Total} \\ \hline C & 0.17 & 0.04 & 0.21 \\ \overline{C} & 0.46 & 0.33 & 0.79 \\ \hline \text{Total} & 0.63 & 0.37 & 1.00 \end{array}$$ Donde, por ejemplo, $P(\overline{C} \cap N) = P(N) - P(C \cap N) = 0.63 - 0.17 = 0.46$.

Se nos pide calcular la probabilidad de que una persona lea novela negra **sabiendo que** lee ciencia ficción, lo cual es una probabilidad condicionada: $$P(N|C) = \frac{P(N \cap C)}{P(C)}$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(N|C) = \frac{0.17}{0.21} = \frac{17}{21} \approx 0.8095$$ 💡 **Tip:** La fórmula de la probabilidad condicionada es $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$. El suceso que "se sabe que ocurre" siempre va en el denominador. ✅ **Resultado de la probabilidad condicionada:** $$\boxed{P(N|C) = \frac{17}{21} \approx 0.8095}$$

Se pide la probabilidad de que no lea ciencia ficción ni novela negra, es decir, $P(\overline{C} \cap \overline{N})$. Según las **leyes de De Morgan**, la intersección de los complementarios es el complementario de la unión: $$P(\overline{C} \cap \overline{N}) = P(\overline{C \cup N})$$ Calculamos primero la probabilidad de la unión: $$P(C \cup N) = P(C) + P(N) - P(C \cap N)$$ $$P(C \cup N) = 0.21 + 0.63 - 0.17 = 0.67$$ Ahora calculamos el complementario: $$P(\overline{C \cup N}) = 1 - P(C \cup N) = 1 - 0.67 = 0.33$$ Este resultado coincide con el valor calculado en nuestra tabla de contingencia en el cruce de $\overline{C}$ y $\overline{N}$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{P(\overline{C} \cap \overline{N}) = 0.33}$$