Alineación de puntos y posición relativa de rectas

**a) Halle los valores de $k$ y de $m$ que hacen que los puntos $A(k, 3, m)$, $B(2, 0, 2)$ y $C(k, 2, 0)$ estén alineados.** Tres puntos $A$, $B$ y $C$ están alineados si los vectores que forman entre ellos son proporcionales (tienen la misma dirección). Vamos a calcular los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{BC}$: $$\vec{AB} = B - A = (2 - k, 0 - 3, 2 - m) = (2 - k, -3, 2 - m)$$ $$\vec{BC} = C - B = (k - 2, 2 - 0, 0 - 2) = (k - 2, 2, -2)$$ Para que estén alineados, debe existir un número real $\lambda$ tal que $\vec{AB} = \lambda \vec{BC}$, lo que implica que sus coordenadas deben ser proporcionales: $$\frac{2-k}{k-2} = \frac{-3}{2} = \frac{2-m}{-2}$$ 💡 **Tip:** Si los puntos están alineados, el vector $\vec{AB}$ y el vector $\vec{BC}$ deben tener componentes proporcionales: $\frac{u_1}{v_1} = \frac{u_2}{v_2} = \frac{u_3}{v_3}$.

Igualamos las razones de la proporción utilizando la que conocemos completamente, que es $\frac{-3}{2}$: 1. Para hallar $k$: $$\frac{2-k}{k-2} = -\frac{3}{2}$$ Multiplicamos en cruz: $$2(2 - k) = -3(k - 2) \implies 4 - 2k = -3k + 6$$ $$-2k + 3k = 6 - 4 \implies k = 2$$ 2. Para hallar $m$: $$\frac{2-m}{-2} = -\frac{3}{2}$$ $$2(2 - m) = (-3)(-2) \implies 4 - 2m = 6$$ $$-2m = 6 - 4 \implies -2m = 2 \implies m = -1$$ ✅ **Resultado (valores):** $$\boxed{k = 2, \quad m = -1}$$

**b) Estudie la posición relativa de las rectas $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{3} = \frac{z-2}{2}$ y $s: \frac{x+2}{3} = \frac{y+3}{2} = \frac{z+1}{3}$. Si se cortan, calcule el punto de corte.** Extraemos un punto y el vector director de cada recta a partir de sus ecuaciones continuas: Para $r$: - Punto $P_r(1, -1, 2)$ - Vector director $\vec{u}_r(2, 3, 2)$ Para $s$: - Punto $P_s(-2, -3, -1)$ - Vector director $\vec{v}_s(3, 2, 3)$ Observamos que los vectores directores **no son proporcionales** ya que $\frac{2}{3} \neq \frac{3}{2}$. Por tanto, las rectas no son paralelas ni coincidentes; o se cortan o se cruzan. 💡 **Tip:** Recuerda que en la forma continua $\frac{x-x_0}{d_1} = \frac{y-y_0}{d_2} = \frac{z-z_0}{d_3}$, el punto es $(x_0, y_0, z_0)$ y el vector es $(d_1, d_2, d_3)$.

Para distinguir si se cortan o se cruzan, calculamos el determinante formado por los vectores directores y el vector que une un punto de cada recta $\vec{P_r P_s}$: $$\vec{P_r P_s} = P_s - P_r = (-2 - 1, -3 - (-1), -1 - 2) = (-3, -2, -3)$$ Calculamos el determinante $|\vec{u}_r, \vec{v}_s, \vec{P_r P_s}|$: $$\det(M) = \begin{vmatrix} 2 & 3 & 2 \\ 3 & 2 & 3 \\ -3 & -2 & -3 \end{vmatrix}$$ Podemos observar que la tercera fila es exactamente la segunda fila multiplicada por $-1$ ($F_3 = -F_2$). Por las propiedades de los determinantes, si una fila es combinación lineal de otra, el determinante es cero: $$\det(M) = 0$$ Como el determinante es $0$ y los vectores directores no son proporcionales, el rango de la matriz de los vectores es 2. Esto significa que los tres vectores son coplanarios y, por tanto, las rectas **se cortan en un punto**. ✅ **Resultado (posición relativa):** $$\boxed{\text{Las rectas } r \text{ y } s \text{ se cortan en un punto}}$$

Para hallar el punto de corte, escribimos las rectas en ecuaciones paramétricas: $r: \begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = -1 + 3\lambda \\ z = 2 + 2\lambda \end{cases} \qquad s: \begin{cases} x = -2 + 3\mu \\ y = -3 + 2\mu \\ z = -1 + 3\mu \end{cases}$ Igualamos las coordenadas $x$ e $y$: 1. $1 + 2\lambda = -2 + 3\mu \implies 2\lambda - 3\mu = -3$ 2. $-1 + 3\lambda = -3 + 2\mu \implies 3\lambda - 2\mu = -2$ Resolvemos el sistema: Multiplicamos (1) por 3 y (2) por 2: $$\begin{cases} 6\lambda - 9\mu = -9 \\ 6\lambda - 4\mu = -4 \end{cases}$$ Restando las ecuaciones: $-5\mu = -5 \implies \mu = 1$. Sustituyendo $\mu=1$ en (1): $2\lambda - 3(1) = -3 \implies 2\lambda = 0 \implies \lambda = 0$. Sustituimos $\lambda = 0$ en las ecuaciones de $r$: $x = 1 + 2(0) = 1$ $y = -1 + 3(0) = -1$ $z = 2 + 2(0) = 2$ Verificamos con $\mu = 1$ en $s$: $x = -2 + 3(1) = 1$, $y = -3 + 2(1) = -1$, $z = -1 + 3(1) = 2$. Coincide. ✅ **Resultado (punto de corte):** $$\boxed{P(1, -1, 2)}$$