Geometría: Ecuación del plano y distancias punto-plano

**a) Obtenga la ecuación implícita o general del plano $\pi$ que pasa por el punto $P(1, -1, 0)$ y es perpendicular a la recta $r: \begin{cases} x = 1 + \lambda, \\ y = -1, \\ z = 0, \end{cases} \lambda \in \mathbb{R}$.** Si el plano $\pi$ es perpendicular a la recta $r$, el vector director de la recta, $\vec{v_r}$, será paralelo al vector normal del plano, $\vec{n_\pi}$. Primero, extraemos el vector director de la recta $r$ a partir de sus ecuaciones paramétricas: $$r: \begin{cases} x = 1 + 1\cdot\lambda \\ y = -1 + 0\cdot\lambda \\ z = 0 + 0\cdot\lambda \end{cases} \implies \vec{v_r} = (1, 0, 0)$$ Por tanto, podemos tomar como vector normal del plano: $$\vec{n_\pi} = \vec{v_r} = (1, 0, 0)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en la ecuación implícita del plano $Ax + By + Cz + D = 0$, los coeficientes $(A, B, C)$ corresponden a las componentes del vector normal.

La ecuación general de un plano con vector normal $(A, B, C) = (1, 0, 0)$ es de la forma: $$1 \cdot x + 0 \cdot y + 0 \cdot z + D = 0 \implies x + D = 0$$ Para hallar $D$, imponemos que el plano pase por el punto $P(1, -1, 0)$: $$1 + D = 0 \implies D = -1$$ Sustituyendo el valor de $D$, obtenemos la ecuación del plano $\pi$: $$\boxed{x - 1 = 0}$$

**b) Calcule los dos puntos de la recta $r: \begin{cases} x = \lambda, \\ y = \lambda, \\ z = \lambda, \end{cases} \lambda \in \mathbb{R}$, cuya distancia al plano $\pi: x - 1 = 0$ es igual a 2.** Cualquier punto $Q$ que pertenezca a la recta $r$ debe cumplir sus ecuaciones paramétricas. Por tanto, un punto genérico de la recta tiene la forma: $$Q(\lambda, \lambda, \lambda)$$ Queremos encontrar los valores de $\lambda$ tales que la distancia de $Q$ al plano $\pi: x - 1 = 0$ sea igual a 2.

La fórmula de la distancia de un punto $Q(x_0, y_0, z_0)$ a un plano $Ax + By + Cz + D = 0$ es: $$d(Q, \pi) = \frac{|A x_0 + B y_0 + C z_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ Sustituimos los datos de nuestro ejercicio ($Q(\lambda, \lambda, \lambda)$ y $x - 1 = 0$): $$d(Q, \pi) = \frac{|1 \cdot \lambda + 0 \cdot \lambda + 0 \cdot \lambda - 1|}{\sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2}} = \frac{|\lambda - 1|}{1} = |\lambda - 1|$$ Como el enunciado indica que esta distancia debe ser igual a 2: $$|\lambda - 1| = 2$$

La ecuación $|\lambda - 1| = 2$ da lugar a dos posibles casos: 1. $\lambda - 1 = 2 \implies \lambda_1 = 3$ 2. $\lambda - 1 = -2 \implies \lambda_2 = -1$ Ahora calculamos los puntos sustituyendo estos valores en las coordenadas de $Q(\lambda, \lambda, \lambda)$: - Para $\lambda_1 = 3$: el punto es $Q_1(3, 3, 3)$. - Para $\lambda_2 = -1$: el punto es $Q_2(-1, -1, -1)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{Q_1(3, 3, 3) \quad \text{y} \quad Q_2(-1, -1, -1)}$$