Cálculo de una función a partir de su segunda derivada y la recta tangente

A partir de la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f$ en $x = 0$, que es $y = 3x - 1$, podemos obtener dos datos fundamentales sobre la función $f$: 1. **La pendiente de la recta tangente** coincide con el valor de la primera derivada en dicho punto: $f'(0) = 3$. 2. **El punto de tangencia** es común a la función y a la recta. Sustituimos $x = 0$ en la ecuación de la recta para hallar la ordenada: $$y(0) = 3(0) - 1 = -1 \implies f(0) = -1.$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la ecuación de la recta tangente en un punto $x = a$ viene dada por $y - f(a) = f'(a)(x - a)$. De aquí se deduce que el coeficiente de la $x$ es la derivada y que la imagen de la función coincide con la de la recta en ese punto. $$\boxed{f'(0) = 3, \quad f(0) = -1}$$

Para obtener $f'(x)$, integramos la segunda derivada $f''(x) = 2x - e^{-x}$: $$f'(x) = \int f''(x) \, dx = \int (2x - e^{-x}) \, dx.$$ Calculamos la integral inmediata: $$f'(x) = x^2 - (-e^{-x}) + C_1 = x^2 + e^{-x} + C_1.$$ Ahora utilizamos la condición inicial $f'(0) = 3$ para hallar la constante $C_1$: $$f'(0) = 0^2 + e^0 + C_1 = 3$$ $$1 + C_1 = 3 \implies C_1 = 2.$$ Por lo tanto, la primera derivada es: $$\boxed{f'(x) = x^2 + e^{-x} + 2}$$

Para obtener la función $f(x)$, integramos la primera derivada $f'(x)$ hallada en el paso anterior: $$f(x) = \int f'(x) \, dx = \int (x^2 + e^{-x} + 2) \, dx.$$ Calculamos la integral: $$f(x) = \frac{x^3}{3} + (-e^{-x}) + 2x + C_2 = \frac{x^3}{3} - e^{-x} + 2x + C_2.$$ Utilizamos la condición inicial $f(0) = -1$ para hallar la constante $C_2$: $$f(0) = \frac{0^3}{3} - e^0 + 2(0) + C_2 = -1$$ $$-1 + C_2 = -1 \implies C_2 = 0.$$ 💡 **Tip:** Al integrar funciones exponenciales del tipo $e^{kx}$, recuerda que su primitiva es $\frac{1}{k}e^{kx}$. En este caso, para $e^{-x}$, el coeficiente es $k=-1$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{f(x) = \frac{x^3}{3} - e^{-x} + 2x}$$