Límites y representación de funciones con propiedades de curvatura

**a) Calcule los límites $\lim_{x \to 0} \frac{x \cos x}{\sin x}$ y $\lim_{x \to 0^+} x \ln x$, donde $\ln x$ es el logaritmo neperiano de $x$.** Empezamos con el primer límite: $$\lim_{x \to 0} \frac{x \cos x}{\sin x}$$ Al evaluar en $x = 0$, obtenemos la indeterminación $\frac{0 \cdot 1}{0} = \frac{0}{0}$. Aplicamos la **regla de L'Hôpital**, derivando el numerador y el denominador por separado: - Derivada del numerador: $(x \cos x)' = 1 \cdot \cos x + x(-\sin x) = \cos x - x \sin x$. - Derivada del denominador: $(\sin x)' = \cos x$. Sustituimos en el límite: $$\lim_{x \to 0} \frac{x \cos x}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - x \sin x}{\cos x}$$ Ahora evaluamos el límite sustituyendo $x=0$: $$\frac{\cos(0) - 0 \cdot \sin(0)}{\cos(0)} = \frac{1 - 0}{1} = 1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la regla de L'Hôpital se aplica cuando tenemos indeterminaciones del tipo $0/0$ o $\infty/\infty$. Para el producto $x \cos x$ usamos la regla $(u \cdot v)' = u'v + uv'$. ✅ **Resultado del primer límite:** $$\boxed{\lim_{x \to 0} \frac{x \cos x}{\sin x} = 1}$$

Calculamos ahora el segundo límite: $$\lim_{x \to 0^+} x \ln x$$ Al evaluar, obtenemos $0 \cdot (-\infty)$, que es una indeterminación. Para aplicar L'Hôpital, reescribimos la expresión como un cociente: $$x \ln x = \frac{\ln x}{1/x}$$ Ahora el límite es del tipo $\frac{-\infty}{\infty}$: $$\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{1/x}$$ Aplicamos la regla de L'Hôpital derivando numerador y denominador: - Derivada de $\ln x$: $\frac{1}{x}$. - Derivada de $\frac{1}{x}$: $-\frac{1}{x^2}$. $$\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{1/x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1/x}{-1/x^2}$$ Simplificamos la expresión algebraica antes de evaluar: $$\frac{1/x}{-1/x^2} = \frac{1}{x} \cdot \left(-\frac{x^2}{1}\right) = -x$$ Finalmente: $$\lim_{x \to 0^+} (-x) = 0$$ ✅ **Resultado del segundo límite:** $$\boxed{\lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0}$$

**b) Dibuje la gráfica de una función $f$ continua y no negativa en el intervalo $[0,3]$ tal que: $f(0) = 0$, $f(3) = 0$, $f'' > 0$ en el intervalo $(0,1)$, $f'' < 0$ en el intervalo $(2,3)$ y $f$ es constante en el intervalo $(1,2)$.** Analicemos qué forma debe tener la función por tramos: 1. **Intervalo $[0, 1]$**: $f(0)=0$, la función es no negativa y $f'' > 0$. Esto significa que la función es **convexa** (forma de U). Para conectar con el siguiente tramo constante, debe crecer. 2. **Intervalo $[1, 2]$**: La función es **constante**. Tomemos, por ejemplo, $f(x) = 1$. Esto implica que $f(1) = 1$ y $f(2) = 1$. 3. **Intervalo $[2, 3]$**: $f(3)=0$ y $f'' < 0$. Esto significa que la función es **cóncava** (forma de campana invertida) y debe decrecer desde el valor constante hasta llegar a cero en $x=3$. 💡 **Tip:** Una función constante tiene $f''(x) = 0$. El enunciado pide explícitamente $f'' > 0$ en un tramo y $f'' < 0$ en otro, lo que define la curvatura (convexidad y concavidad).

Para cumplir las condiciones, podemos proponer una función definida a trozos: - En $(0, 1)$, una parábola convexa como $x^2$. - En $(1, 2)$, un valor constante como $1$. - En $(2, 3)$, una parábola cóncava que baje a cero, como $-(x-2)^2 + 1$. La gráfica resultante muestra el crecimiento convexo inicial, el plateau constante y el decrecimiento cóncavo final, siempre manteniéndose por encima del eje $X$ (no negativa). ✅ **Representación gráfica:**