Discusión de un sistema de ecuaciones con parámetro m

Para discutir el sistema según el parámetro $m$, primero escribimos el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$, donde $A$ es la matriz de coeficientes y $A^*$ la matriz ampliada: $$A = \begin{pmatrix} 1 & m-3 & m \\ 0 & m-3 & m^2-m \\ 1 & 0 & m^2 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & m-3 & m & 1 \\ 0 & m-3 & m^2-m & 1 \\ 1 & 0 & m^2 & 0 \end{array}\right)$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Rouché-Capelli nos permite determinar la compatibilidad del sistema comparando los rangos de $A$ y $A^*$.

Calculamos el determinante de la matriz $A$ para hallar los valores críticos de $m$ que hacen que el rango sea menor que $3$. $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & m-3 & m \\ 0 & m-3 & m^2-m \\ 1 & 0 & m^2 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por la regla de Sarrus o por una fila/columna. En este caso, desarrollamos por la primera columna: $$|A| = 1 \cdot \begin{vmatrix} m-3 & m^2-m \\ 0 & m^2 \end{vmatrix} - 0 + 1 \cdot \begin{vmatrix} m-3 & m \\ m-3 & m^2-m \end{vmatrix}$$ $$|A| = [(m-3)m^2 - 0] + [(m-3)(m^2-m) - m(m-3)]$$ $$|A| = m^2(m-3) + (m-3)(m^2-m-m)$$ $$|A| = (m-3) [m^2 + m^2 - 2m] = (m-3)(2m^2 - 2m)$$ $$|A| = 2m(m-1)(m-3)$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos: $$2m(m-1)(m-3) = 0 \implies \mathbf{m = 0, \, m = 1, \, m = 3}$$ $$\boxed{|A| = 2m(m-1)(m-3)}$$

Si $m \neq 0, 1, 3$, entonces el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero ($|A| \neq 0$). Esto implica que: - $\text{rango}(A) = 3$ - $\text{rango}(A^*) = 3$ - Número de incógnitas = 3 Según el **Teorema de Rouché-Capelli**, cuando el rango de $A$ es igual al rango de $A^*$ e igual al número de incógnitas, el sistema es compatible determinado. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } m \in \mathbb{R} \setminus \{0, 1, 3\}, \text{ el sistema es Compatible Determinado (SCD)}}$$

Para $m = 0$, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -3 & 0 & 1 \\ 0 & -3 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$$ Sabemos que $|A| = 0$, por lo que $\text{rango}(A) \lt 3$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 1 & -3 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 3 \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 2$$ Ahora estudiamos el $\text{rango}(A^*)$ analizando el menor que incluye la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & -3 & 1 \\ 0 & -3 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = (0 - 3 + 0) - (-3 + 0 + 0) = -3 + 3 = 0$$ Como todos los menores de orden 3 son cero, $\text{rango}(A^*) = 2$. Como $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 2 \lt \text{número de incógnitas}$: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } m = 0, \text{ el sistema es Compatible Indeterminado (SCI)}}$$

Para $m = 1$, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right)$$ Como $|A| = 0$, $\text{rango}(A) \lt 3$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} = -2 \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 2$$ Estudiamos el $\text{rango}(A^*)$ con el menor de la columna 1, 2 y 4: $$\begin{vmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & -2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = (0 - 2 + 0) - (-2 + 0 + 0) = -2 + 2 = 0$$ Al ser nulo, $\text{rango}(A^*) = 2$. Como $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 2 \lt 3$: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } m = 1, \text{ el sistema es Compatible Indeterminado (SCI)}}$$

Para $m = 3$, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 6 & 1 \\ 1 & 0 & 9 & 0 \end{array}\right)$$ Como $|A| = 0$, $\text{rango}(A) \lt 3$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo (usando columnas 1 y 3): $$\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 6 \end{vmatrix} = 6 \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 2$$ Estudiamos el $\text{rango}(A^*)$ con el menor formado por las columnas 1, 3 y 4: $$\begin{vmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 0 & 6 & 1 \\ 1 & 9 & 0 \end{vmatrix} = (0 + 3 + 0) - (6 + 9 + 0) = 3 - 15 = -12 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 3 no nulo en la ampliada, $\text{rango}(A^*) = 3$. Como $\text{rango}(A) \neq \text{rango}(A^*)$: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } m = 3, \text{ el sistema es Incompatible (SI)}}$$

Resumimos la discusión del sistema según los valores del parámetro $m$ aplicando el Teorema de Rouché-Capelli: - Si **$m \in \mathbb{R} \setminus \{0, 1, 3\}$**: **Sistema Compatible Determinado** (solución única). - Si **$m = 0$** o **$m = 1$**: **Sistema Compatible Indeterminado** (infinitas soluciones). - Si **$m = 3$**: **Sistema Incompatible** (no tiene solución). 💡 **Tip:** No olvides mencionar siempre el nombre del Teorema de Rouché-Capelli al concluir la discusión de un sistema con parámetros.