Ecuación matricial con productos e inversas

**Despeje $X$ de la ecuación matricial $AB(X - I) = C$, donde $I$ es la matriz identidad (asuma que el producto $AB$ tiene inversa).** Para despejar $X$, operamos con cuidado manteniendo el orden de los productos (ya que el producto de matrices no es conmutativo): 1. Multiplicamos por la izquierda por la inversa de $(AB)$, denotada como $(AB)^{-1}$: $$(AB)^{-1} AB (X - I) = (AB)^{-1} C$$ 2. Como $(AB)^{-1} AB = I$, simplificamos: $$I (X - I) = (AB)^{-1} C \implies X - I = (AB)^{-1} C$$ 3. Finalmente, sumamos la matriz identidad $I$ en ambos miembros para aislar $X$: $$X = (AB)^{-1} C + I$$ 💡 **Tip:** Recuerda que al despejar matrices, si multiplicas por una inversa en un lado de la igualdad, debes hacerlo en el mismo lado (izquierda o derecha) en el otro miembro: $A \cdot X = B \implies X = A^{-1} \cdot B$. $$\boxed{X = (AB)^{-1} C + I}$$

Para calcular $X$, primero hallamos el producto $M = AB$: $$M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto fila por columna: - Fila 1: $(1\cdot 1 + 2\cdot 0 + 3\cdot 1, \, 1\cdot 2 + 2\cdot 1 + 3\cdot 0, \, 1\cdot 0 + 2\cdot 0 + 3\cdot 2) = (4, 4, 6)$ - Fila 2: $(0\cdot 1 + 1\cdot 0 + 0\cdot 1, \, 0\cdot 2 + 1\cdot 1 + 0\cdot 0, \, 0\cdot 0 + 1\cdot 0 + 0\cdot 2) = (0, 1, 0)$ - Fila 3: $(0\cdot 1 + 0\cdot 0 + 1\cdot 1, \, 0\cdot 2 + 0\cdot 1 + 1\cdot 0, \, 0\cdot 0 + 0\cdot 0 + 1\cdot 2) = (1, 0, 2)$ $$\boxed{M = AB = \begin{pmatrix} 4 & 4 & 6 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}}$$

Calculamos $M^{-1}$ usando el determinante y la traspuesta de la adjunta. **1. Determinante de $M$ (por Sarrus):** $$\text{det}(M) = |M| = \begin{vmatrix} 4 & 4 & 6 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix}$$ Como la segunda fila tiene dos ceros, desarrollamos por ella: $$|M| = 1 \cdot (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot (8 - 6) = 2$$ **2. Matriz de adjuntos $\text{Adj}(M)$:** $$\text{Adj}(M) = \begin{pmatrix} +|\begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{smallmatrix}| & -|\begin{smallmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 2 \end{smallmatrix}| & +|\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix}| \\ -|\begin{smallmatrix} 4 & 6 \\ 0 & 2 \end{smallmatrix}| & +|\begin{smallmatrix} 4 & 6 \\ 1 & 2 \end{smallmatrix}| & -|\begin{smallmatrix} 4 & 4 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix}| \\ +|\begin{smallmatrix} 4 & 6 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix}| & -|\begin{smallmatrix} 4 & 6 \\ 0 & 0 \end{smallmatrix}| & +|\begin{smallmatrix} 4 & 4 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}| \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ -8 & 2 & 4 \\ -6 & 0 & 4 \end{pmatrix}$$ **3. Matriz inversa:** $$M^{-1} = \frac{1}{|M|} (\text{Adj}(M))^t = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 2 & -8 & -6 \\ 0 & 2 & 0 \\ -1 & 4 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -4 & -3 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1/2 & 2 & 2 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** La fórmula de la inversa es $M^{-1} = \frac{1}{|M|} \text{Adj}(M)^t$.

Calculamos ahora el término $(AB)^{-1} C$: $$(AB)^{-1} C = \begin{pmatrix} 1 & -4 & -3 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1/2 & 2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$ - Fila 1: $(1\cdot 2 + 0 + 0, \, 1\cdot 2 + 0 - 3\cdot 1, \, 1\cdot 4 - 4\cdot 1 + 0) = (2, -1, 0)$ - Fila 2: $(0\cdot 2 + 1\cdot 0 + 0, \, 0\cdot 2 + 1\cdot 0 + 0, \, 0\cdot 4 + 1\cdot 1 + 0) = (0, 0, 1)$ - Fila 3: $(-1/2\cdot 2 + 0 + 0, \, -1/2\cdot 2 + 0 + 2\cdot 1, \, -1/2\cdot 4 + 2\cdot 1 + 0) = (-1, 1, 0)$ $$\boxed{(AB)^{-1} C = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}}$$

Para obtener la solución final, sumamos la matriz identidad $I$ al resultado anterior: $$X = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} 2+1 & -1+0 & 0+0 \\ 0+0 & 0+1 & 1+0 \\ -1+0 & 1+0 & 0+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}}$$