Distribución Binomial y Normal

**a) Se hace un examen tipo test con 60 preguntas y 4 opciones por pregunta, de las que solo una es correcta. Calcule la probabilidad de acertar por lo menos 16 preguntas si se responden las 60 al azar.** Primero, definimos la variable aleatoria $X$ como el número de preguntas acertadas. Al responder al azar, cada pregunta es un experimento de Bernoulli independiente con dos posibles resultados: acierto o fallo. Los parámetros de nuestra distribución binomial $B(n, p)$ son: - $n = 60$ (número total de preguntas). - $p = \frac{1}{4} = 0.25$ (probabilidad de acertar una pregunta). - $q = 1 - p = 0.75$ (probabilidad de fallar). Por tanto, $X \sim B(60, 0.25)$. 💡 **Tip:** Una distribución binomial se usa cuando tenemos $n$ ensayos independientes con la misma probabilidad de éxito $p$ en cada uno.

Dado que el número de ensayos $n=60$ es grande, comprobamos si podemos aproximar la distribución por una normal. Las condiciones son: - $n \cdot p = 60 \cdot 0.25 = 15 \gt 5$ - $n \cdot q = 60 \cdot 0.75 = 45 \gt 5$ Como se cumplen ambas condiciones, aproximamos $X$ mediante una variable normal $Y \sim N(\mu, \sigma)$: - $\mu = n \cdot p = 15$ - $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{60 \cdot 0.25 \cdot 0.75} = \sqrt{11.25} \approx 3.354$ Por tanto, $X \approx Y \sim N(15, 3.354)$.

Queremos calcular la probabilidad de acertar por lo menos 16 preguntas, es decir, $P(X \ge 16)$. Al pasar de una variable discreta ($X$) a una continua ($Y$), aplicamos la **corrección de continuidad de Yates**: $$P(X \ge 16) \approx P(Y \ge 15.5)$$ Ahora tipificamos la variable para usar la tabla de la normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ mediante $Z = \frac{Y - \mu}{\sigma}$: $$P(Y \ge 15.5) = P\left(Z \ge \frac{15.5 - 15}{3.354}\right) = P\left(Z \ge \frac{0.5}{3.354}\right) \approx P(Z \ge 0.15)$$ Calculamos el valor usando la simetría de la campana de Gauss: $$P(Z \ge 0.15) = 1 - P(Z \le 0.15)$$ Consultando la tabla de la normal estándar: $$1 - 0.5596 = 0.4404$$ 💡 **Tip:** Recuerda que al aproximar una Binomial a una Normal, $P(X \ge k)$ se convierte en $P(Y \ge k - 0.5)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \ge 16) \approx 0.4404}$$

**b) Si $X$ sigue una distribución normal de media 25 y desviación típica 2, calcule $P(X \lt 24)$. Luego, calcule el valor de $\alpha \gt 0$ tal que $P(25 - \alpha \lt X \lt 25 + \alpha) = 0.2128$.** Tenemos $X \sim N(25, 2)$. Para calcular $P(X \lt 24)$, tipificamos la variable: $$Z = \frac{24 - 25}{2} = \frac{-1}{2} = -0.5$$ Entonces: $$P(X \lt 24) = P(Z \lt -0.5)$$ Por simetría: $$P(Z \lt -0.5) = P(Z \gt 0.5) = 1 - P(Z \le 0.5)$$ Buscamos en la tabla el valor para $0.5$: $$1 - 0.6915 = 0.3085$$ ✅ **Resultado (primera parte):** $$\boxed{P(X \lt 24) = 0.3085}$$

Para la segunda parte, buscamos $\alpha$ tal que $P(25 - \alpha \lt X \lt 25 + \alpha) = 0.2128$. Observamos que el intervalo está centrado en la media ($\mu = 25$). Tipificamos los extremos del intervalo: $$P\left(\frac{25 - \alpha - 25}{2} \lt Z \lt \frac{25 + \alpha - 25}{2}\right) = 0.2128$$ $$P\left(-\frac{\alpha}{2} \lt Z \lt \frac{\alpha}{2}\right) = 0.2128$$ Esta expresión equivale a: $$P\left(Z \lt \frac{\alpha}{2}\right) - P\left(Z \lt -\frac{\alpha}{2}\right) = 0.2128$$ $$P\left(Z \lt \frac{\alpha}{2}\right) - \left[1 - P\left(Z \lt \frac{\alpha}{2}\right)\right] = 0.2128$$ $$2 \cdot P\left(Z \lt \frac{\alpha}{2}\right) - 1 = 0.2128$$ $$2 \cdot P\left(Z \lt \frac{\alpha}{2}\right) = 1.2128 \implies P\left(Z \lt \frac{\alpha}{2}\right) = 0.6064$$ Buscamos en la tabla el valor de $z$ cuya probabilidad acumulada es $0.6064$: $$\frac{\alpha}{2} = 0.27$$ $$\alpha = 0.27 \cdot 2 = 0.54$$ ✅ **Resultado (segunda parte):** $$\boxed{\alpha = 0.54}$$