Probabilidad: Novelas, Clásicos y Distribución Binomial

**a) En una famosa biblioteca, el 70% de los libros son novelas, el 40% son clásicos anteriores al siglo XIX y el 60% de los clásicos son novelas. Si se elige en esa biblioteca un libro al azar, calcule la probabilidad de que no sea una novela, pero sí un clásico, y la probabilidad de que sea un clásico sabiendo que es una novela.** Primero definimos los sucesos principales: - $N$: El libro elegido es una **novela**. - $C$: El libro elegido es un **clásico**. Del enunciado extraemos los siguientes datos de probabilidad: - $P(N) = 0,70$ - $P(C) = 0,40$ - $P(N|C) = 0,60$ (Probabilidad de ser novela sabiendo que es clásico) Podemos organizar la información en una **tabla de contingencia** calculando primero la intersección $P(N \cap C)$: $$P(N \cap C) = P(C) \cdot P(N|C) = 0,40 \cdot 0,60 = 0,24$$ Completamos el resto de la tabla sabiendo que los totales deben sumar 1: $$\begin{array}{c|cc|c} & N & \bar{N} & \text{Total} \\\hline C & 0,24 & 0,16 & 0,40 \\ \bar{C} & 0,46 & 0,14 & 0,60 \\\hline \text{Total} & 0,70 & 0,30 & 1,00 \end{array}$$ 💡 **Tip:** En problemas donde se cruzan dos características con sus probabilidades y una condicionada, la tabla de contingencia suele ser el método más rápido para visualizar todos los casos.

Nos piden calcular la probabilidad de que el libro **no sea una novela ($ \bar{N} $), pero sí un clásico ($ C $)**. Esto corresponde a la intersección $P(\bar{N} \cap C)$. Utilizando los datos de la tabla o la propiedad de la resta de conjuntos: $$P(\bar{N} \cap C) = P(C) - P(N \cap C)$$ $$P(\bar{N} \cap C) = 0,40 - 0,24 = 0,16$$ ✅ **Resultado (parte 1):** $$\boxed{P(\bar{N} \cap C) = 0,16}$$ 💡 **Tip:** La expresión "A pero no B" siempre se traduce matemáticamente como la intersección de A con el complementario de B: $P(A \cap \bar{B})$.

Ahora debemos calcular la probabilidad de que sea un **clásico ($ C $) sabiendo que es una novela ($ N $)**. Esto es una probabilidad condicionada $P(C|N)$. Aplicamos la fórmula de la probabilidad condicionada: $$P(C|N) = \frac{P(C \cap N)}{P(N)}$$ Sustituimos los valores obtenidos anteriormente: $$P(C|N) = \frac{0,24}{0,70} = \frac{24}{70} = \frac{12}{35} \approx 0,3429$$ ✅ **Resultado (parte 2):** $$\boxed{P(C|N) = \frac{12}{35} \approx 0,3429}$$ 💡 **Tip:** No confundas $P(N|C)$ (dato del problema) con $P(C|N)$ (lo que nos piden). El orden en la condicionada es fundamental.

**b) En un cierto país, el 80% de los delitos contra la propiedad quedan sin resolver. Si en una localidad de ese país se cometieron 3 de esos delitos, calcule la probabilidad de que se resuelva por lo menos 1.** Definimos la variable aleatoria $X$: $X$: Número de delitos resueltos de entre los 3 cometidos. Estamos ante una **distribución Binomial** $B(n, p)$ donde: - $n = 3$ (número de delitos/ensayos). - $p$ es la probabilidad de éxito (que se resuelva el delito). Si el 80% queda sin resolver, la probabilidad de que se resuelva es: $$p = 1 - 0,80 = 0,20$$ Por tanto, $X \sim B(3, \, 0,20)$. 💡 **Tip:** Identificamos una Binomial cuando tenemos un número fijo de experimentos independientes ($n$) y cada uno tiene solo dos resultados posibles (éxito o fracaso) con probabilidad constante ($p$).

Nos piden calcular la probabilidad de que se resuelva **por lo menos 1** delito, es decir, $P(X \ge 1)$. Es mucho más sencillo calcularlo a través del **suceso contrario**: $$P(X \ge 1) = 1 - P(X < 1) = 1 - P(X = 0)$$ Calculamos $P(X = 0)$ usando la fórmula de la distribución binomial: $$P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$$ Para $k = 0$: $$P(X = 0) = \binom{3}{0} \cdot (0,20)^0 \cdot (0,80)^3$$ $$P(X = 0) = 1 \cdot 1 \cdot 0,512 = 0,512$$ Finalmente: $$P(X \ge 1) = 1 - 0,512 = 0,488$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{P(X \ge 1) = 0,488}$$ 💡 **Tip:** Siempre que nos pidan "al menos uno", es recomendable usar la fórmula $1 - P(X=0)$ para ahorrar cálculos.