Posición relativa de recta y plano con parámetros

**Estudie la posición relativa de la recta $r: \frac{x+1}{1} = \frac{y-1}{k} = \frac{z}{3}$ y el plano $\pi: ax + 4y + 3az + 2 = 0$ en función de los parámetros $k$ y $a$.** Para estudiar la posición relativa, primero extraemos el vector director de la recta $r$ y el vector normal del plano $\pi$: - Vector director de $r$: $\vec{v}_r = (1, k, 3)$. - Punto de la recta $r$: $P_r(-1, 1, 0)$. - Vector normal de $\pi$: $\vec{n}_\pi = (a, 4, 3a)$. La posición relativa depende de si el vector director de la recta es perpendicular al vector normal del plano (lo que indicaría que la recta es paralela o está contenida en el plano). 💡 **Tip:** Recuerda que una recta escrita en forma continua $\frac{x-x_0}{v_1} = \frac{y-y_0}{v_2} = \frac{z-z_0}{v_3}$ nos da directamente un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ y su vector director $\vec{v}(v_1, v_2, v_3)$.

Calculamos el producto escalar $\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi$. La recta será paralela o estará contenida si este producto es cero: $$\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi = (1, k, 3) \cdot (a, 4, 3a) = 1 \cdot a + k \cdot 4 + 3 \cdot 3a = a + 4k + 9a = 10a + 4k.$$ Igualamos a cero para encontrar la relación entre los parámetros: $$10a + 4k = 0 \implies 4k = -10a \implies k = -\frac{10a}{4} = -\frac{5a}{2}.$$ Si $k = -\frac{5a}{2}$, la recta es paralela al plano o está contenida en él. Si $k \neq -\frac{5a}{2}$, la recta y el plano son secantes. 💡 **Tip:** Si el producto escalar del vector director y el normal es distinto de cero, la recta y el plano se cortan en un único punto (son secantes).

Para saber si la recta está contenida cuando $k = -\frac{5a}{2}$, comprobamos si el punto $P_r(-1, 1, 0)$ pertenece al plano $\pi$ sustituyendo sus coordenadas en la ecuación del plano: $$a(-1) + 4(1) + 3a(0) + 2 = -a + 4 + 2 = 6 - a.$$ Para que $P_r \in \pi$, debe cumplirse que $6 - a = 0 \implies a = 6$. Si $a = 6$, entonces el valor de $k$ debe ser: $$k = -\frac{5(6)}{2} = -15.$$ Por tanto: - Si **$a = 6$ y $k = -15$**, la recta $r$ está **contenida** en el plano $\pi$. - Si **$k = -\frac{5a}{2}$ y $a \neq 6$**, la recta $r$ es **paralela** al plano $\pi$. 💡 **Tip:** Una recta está contenida en un plano si es paralela a él y al menos uno de sus puntos pertenece al plano.

Resumimos los casos obtenidos: 1. Si **$k \neq -\frac{5a}{2}$**, la recta $r$ y el plano $\pi$ son **secantes** (se cortan en un punto). 2. Si **$k = -\frac{5a}{2}$ y $a \neq 6$**, la recta $r$ y el plano $\pi$ son **paralelos**. 3. Si **$k = -15$ y $a = 6$**, la recta $r$ está **contenida** en el plano $\pi$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{cases} k \neq -\frac{5a}{2} \implies \text{Secantes} \\ k = -\frac{5a}{2}, a \neq 6 \implies \text{Paralelos} \\ k = -15, a = 6 \implies \text{Contenida} \end{cases}}$$

**Luego, si es posible, diga cuándo $r$ es perpendicular a $\pi$.** Para que la recta $r$ sea perpendicular al plano $\pi$, su vector director $\vec{v}_r$ debe ser paralelo (proporcional) al vector normal del plano $\vec{n}_\pi$: $$\vec{v}_r \parallel \vec{n}_\pi \implies \frac{1}{a} = \frac{k}{4} = \frac{3}{3a}.$$ Analizamos las igualdades: 1. De la primera y la tercera: $\frac{1}{a} = \frac{3}{3a} \implies \frac{1}{a} = \frac{1}{a}$. Esto se cumple siempre que $a \neq 0$. 2. De la primera y la segunda: $\frac{1}{a} = \frac{k}{4} \implies k = \frac{4}{a}$. Por tanto, la recta es perpendicular al plano siempre que se cumpla la relación $k = \frac{4}{a}$ con $a \neq 0$. 💡 **Tip:** Dos vectores $\vec{u}(u_1, u_2, u_3)$ y $\vec{v}(v_1, v_2, v_3)$ son paralelos si sus coordenadas son proporcionales: $\frac{u_1}{v_1} = \frac{u_2}{v_2} = \frac{u_3}{v_3}$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{r \perp \pi \iff k = \frac{4}{a} \quad \text{con } a \neq 0}$$