Geometría: Ecuación del plano y punto simétrico

**a) Obtenga la ecuación implícita o general del plano $\pi$ que contiene a la recta $r: \frac{x+1}{3} = \frac{y+2}{2} = \frac{z+3}{1}$ y pasa por el punto $P(0,1,0)$.** Para determinar la ecuación de un plano necesitamos un punto y dos vectores directores no paralelos, o bien un punto y un vector normal. De la ecuación continua de la recta $r$, extraemos un punto $A$ y su vector director $\vec{v}_r$: - Punto de la recta: $A(-1, -2, -3)$ - Vector director: $\vec{v}_r = (3, 2, 1)$ Como el plano contiene a la recta $r$ y al punto $P(0, 1, 0)$, el vector $\vec{AP}$ será el segundo vector director del plano: $$\vec{AP} = P - A = (0 - (-1), 1 - (-2), 0 - (-3)) = (1, 3, 3)$$ 💡 **Tip:** Si un plano contiene a una recta, el vector director de la recta es también vector director del plano.

El vector normal $\vec{n}$ al plano se obtiene mediante el producto vectorial de los dos vectores directores del plano, $\vec{v}_r$ y $\vec{AP}$: $$\vec{n} = \vec{v}_r \times \vec{AP} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 3 \\ \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante desarrollando por la primera fila: $$\vec{n} = \vec{i} \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 3 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix}$$ $$\vec{n} = \vec{i}(6 - 3) - \vec{j}(9 - 1) + \vec{k}(9 - 2)$$ $$\vec{n} = (3, -8, 7)$$ 💡 **Tip:** El producto vectorial produce un vector perpendicular a los dos vectores originales, ideal para hallar la normal de un plano.

La ecuación general del plano tiene la forma $Ax + By + Cz + D = 0$. Utilizando las componentes del vector normal $\vec{n} = (3, -8, 7)$: $$3x - 8y + 7z + D = 0$$ Para hallar $D$, sustituimos el punto $P(0, 1, 0)$ en la ecuación: $$3(0) - 8(1) + 7(0) + D = 0 \implies -8 + D = 0 \implies D = 8$$ ✅ **Resultado (Apartado a):** $$\boxed{\pi: 3x - 8y + 7z + 8 = 0}$$

**b) Calcule el punto simétrico de $P(11, -14, 13)$ con respecto al plano $\pi: 3x - 8y + 7z + 8 = 0$.** Para calcular el punto simétrico $P'$, seguiremos estos pasos: 1. Hallar la recta $s$ que pasa por $P$ y es perpendicular a $\pi$. 2. Hallar el punto de intersección $M$ entre la recta $s$ y el plano $\pi$ (proyección ortogonal). 3. Aplicar que $M$ es el punto medio del segmento $PP'$. El vector director de la recta $s$ será el vector normal del plano $\pi$, $\vec{n} = (3, -8, 7)$. La ecuación de $s$ pasando por $P(11, -14, 13)$ en paramétricas es: $$s: \begin{cases} x = 11 + 3\lambda \\ y = -14 - 8\lambda \\ z = 13 + 7\lambda \end{cases}$$

Sustituimos las expresiones de $s$ en la ecuación del plano $\pi$ para hallar el valor de $\lambda$: $$3(11 + 3\lambda) - 8(-14 - 8\lambda) + 7(13 + 7\lambda) + 8 = 0$$ $$33 + 9\lambda + 112 + 64\lambda + 91 + 49\lambda + 8 = 0$$ $$(9 + 64 + 49)\lambda + (33 + 112 + 91 + 8) = 0$$ $$122\lambda + 244 = 0 \implies 122\lambda = -244 \implies \lambda = -2$$ Sustituimos $\lambda = -2$ en la recta $s$ para obtener $M$: $$x_M = 11 + 3(-2) = 5$$ $$y_M = -14 - 8(-2) = 2$$ $$z_M = 13 + 7(-2) = -1$$ El punto de intersección es **$M(5, 2, -1)$**.

El punto $M$ es el punto medio entre $P(11, -14, 13)$ y su simétrico $P'(x', y', z')$. Por tanto: $$M = \frac{P + P'}{2} \implies P' = 2M - P$$ Calculamos las coordenadas de $P'$: $$x' = 2(5) - 11 = 10 - 11 = -1$$ $$y' = 2(2) - (-14) = 4 + 14 = 18$$ $$z' = 2(-1) - 13 = -2 - 13 = -15$$ 💡 **Tip:** El punto simétrico siempre se encuentra a la misma distancia del plano que el punto original, siguiendo la dirección normal. ✅ **Resultado (Apartado b):** $$\boxed{P'(-1, 18, -15)}$$