Cálculo de integrales indefinidas

**a) $\int 2x\sqrt{x^2 + 1} \, dx$** Observamos que la expresión $2x$ es exactamente la derivada del interior de la raíz, $x^2+1$. Esto nos permite tratarla como una integral inmediata de tipo potencial. Reescribimos la raíz como una potencia: $$\int 2x(x^2 + 1)^{1/2} \, dx$$ Como tenemos la estructura $\int f'(x) \cdot [f(x)]^n \, dx$, la solución es $\frac{[f(x)]^{n+1}}{n+1} + C$. Calculamos el exponente: $$n+1 = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$$ Por tanto: $$\int 2x(x^2 + 1)^{1/2} \, dx = \frac{(x^2+1)^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3}(x^2+1)^{3/2} + C$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\int f'(x) [f(x)]^n dx = \frac{[f(x)]^{n+1}}{n+1} + C$. Identificar la derivada del "bloque" principal es clave para resolver integrales rápidamente. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\frac{2\sqrt{(x^2+1)^3}}{3} + C}$$

**b) $\int (\sin x) \sin(\cos x) \, dx$** En este caso, tenemos una función compuesta $\sin(\cos x)$. La derivada de la función interna, $\cos x$, es $-\sin x$. En el integrando ya disponemos de $\sin x$, por lo que solo necesitamos ajustar un signo negativo. Multiplicamos y dividimos por $-1$: $$-\int (-\sin x) \sin(\cos x) \, dx$$ Ahora la integral tiene la forma $\int f'(x) \sin(f(x)) \, dx$, cuya primitiva es $-\cos(f(x)) + C$. Aplicando la fórmula: $$-\int (-\sin x) \sin(\cos x) \, dx = -(-\cos(\cos x)) + C = \cos(\cos x) + C$$ 💡 **Tip:** Si tienes una función compuesta $g(f(x))$, busca siempre si $f'(x)$ está multiplicando. Si falta una constante (como un signo o un número), puedes añadirla multiplicando y dividiendo fuera de la integral. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\cos(\cos x) + C}$$

**c) $\int x^2 \sin x \, dx$** Esta integral es un producto de un polinomio por una función trigonométrica. Utilizaremos el método de **integración por partes** dos veces. **Primera aplicación:** Elegimos $u$ siguiendo la regla ALPES ($u = x^2$) y $dv = \sin x \, dx$: - $u = x^2 \implies du = 2x \, dx$ - $dv = \sin x \, dx \implies v = -\cos x$ Aplicamos la fórmula $\int u \, dv = uv - \int v \, du$: $$\int x^2 \sin x \, dx = -x^2 \cos x - \int (-\cos x) 2x \, dx = -x^2 \cos x + 2\int x \cos x \, dx$$ **Segunda aplicación** (para la integral $\int x \cos x \, dx$): - $u = x \implies du = dx$ - $dv = \cos x \, dx \implies v = \sin x$ Sustituimos en la expresión anterior: $$-x^2 \cos x + 2 \left( x \sin x - \int \sin x \, dx \right)$$ $$-x^2 \cos x + 2x \sin x - 2(-\cos x) + C$$ 💡 **Tip:** La regla ALPES ayuda a elegir $u$: **A**rcos, **L**ogaritmos, **P**olinomios, **E**xponenciales, **S**enos/Cosenos. El que aparezca primero en la lista suele ser $u$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{-x^2 \cos x + 2x \sin x + 2 \cos x + C}$$

**d) $\int \frac{1}{(x-1)(x-2)} \, dx$** Estamos ante una integral racional donde el denominador ya está factorizado en raíces reales simples. Usamos la descomposición en **fracciones simples**: $$\frac{1}{(x-1)(x-2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2}$$ Multiplicamos por el denominador común para hallar $A$ y $B$: $$1 = A(x-2) + B(x-1)$$ Calculamos los valores: - Si $x = 1 \implies 1 = A(1-2) \implies 1 = -A \implies A = -1$ - Si $x = 2 \implies 1 = B(2-1) \implies 1 = B \implies B = 1$ Sustituimos en la integral: $$\int \frac{-1}{x-1} \, dx + \int \frac{1}{x-2} \, dx$$ Ambas son integrales logarítmicas directas: $$-\ln|x-1| + \ln|x-2| + C$$ Utilizando las propiedades de los logaritmos, podemos agrupar el resultado: $$\ln \left| \frac{x-2}{x-1} \right| + C$$ 💡 **Tip:** Para integrales racionales del tipo $\frac{1}{(x-a)(x-b)}$, la descomposición siempre conduce a una suma de logaritmos neperianos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\ln \left| \frac{x-2}{x-1} \right| + C}$$