Recta tangente, geometría del triángulo y derivabilidad

**a) Obtenga las coordenadas de los vértices del triángulo rectángulo cuya hipotenusa es tangente a la gráfica de $f(x) = x^2$ en el punto de abscisa $x = 2$ y que, además, tiene un cateto de longitud 2 situado sobre el eje $X$. Dibuje la gráfica de $f$, la recta tangente y el triángulo.** Primero, calculamos la ecuación de la recta tangente a $f(x) = x^2$ en $x = 2$. 1. **Punto de tangencia:** Calculamos la ordenada evaluando la función: $f(2) = 2^2 = 4$. El punto es $(2, 4)$. 2. **Pendiente de la tangente ($m$):** Calculamos la derivada $f'(x) = 2x$. Evaluamos en $x = 2$: $m = f'(2) = 2(2) = 4$. 3. **Ecuación de la recta:** Usamos la fórmula punto-pendiente $y - y_0 = m(x - x_0)$: $$y - 4 = 4(x - 2) \implies y = 4x - 8 + 4 \implies y = 4x - 4.$$ 💡 **Tip:** La ecuación de la recta tangente en un punto $x=a$ siempre sigue la estructura $y - f(a) = f'(a)(x - a)$. $$\boxed{y = 4x - 4}$$

Sabemos que la hipotenusa del triángulo está sobre la recta $y = 4x - 4$ y un cateto de longitud 2 está sobre el eje $X$. 1. **Vértice sobre el eje $X$ (intersección de la hipotenusa):** Buscamos el punto donde la hipotenusa corta al eje $X$ haciendo $y = 0$: $$0 = 4x - 4 \implies 4x = 4 \implies x = 1.$$ El primer vértice es **$A(1, 0)$**. 2. **Vértice del ángulo recto:** Como un cateto está sobre el eje $X$, el otro cateto debe ser vertical (perpendicular al eje $X$). La longitud del cateto horizontal es 2, por lo que el siguiente vértice en el eje $X$ estará en $x = 1 + 2 = 3$ o en $x = 1 - 2 = -1$. Si tomamos $x = 3$, el vértice sobre el eje $X$ es **$B(3, 0)$**. 3. **Tercer vértice:** Debe estar sobre la recta tangente (la hipotenusa) con la misma abscisa que el vértice del ángulo recto ($x = 3$): $$y = 4(3) - 4 = 12 - 4 = 8.$$ El tercer vértice es **$C(3, 8)$**. *(Nota: Existe otra solución simétrica tomando el cateto hacia la izquierda, en $x = -1$, lo que daría los puntos $(-1, 0)$ y $(-1, -8)$, pero habitualmente se trabaja en el primer cuadrante si no se especifica).* ✅ **Resultado:** $$\boxed{A(1, 0), B(3, 0), C(3, 8)}$$

A continuación se muestra la representación de la parábola $f(x)=x^2$, la recta tangente en $x=2$ y el triángulo rectángulo obtenido. "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x)=x^2", "color": "#2563eb" }, { "id": "t", "latex": "y=4x-4", "color": "#ef4444" }, { "id": "tri", "latex": "polygon((1,0), (3,0), (3,8))", "color": "#16a34a", "fillOpacity": 0.2 }, { "id": "P", "latex": "(2,4)", "label": "Punto tangencia", "showLabel": true } ], "bounds": { "left": -1, "right": 5, "bottom": -2, "top": 10 } } }

**b) Halle los valores de $a$ y $b$ que hacen que la función $f(x) = \begin{cases} 1 & \text{si } x \leq 1 \\ ax^2 + bx & \text{si } x > 1 \end{cases}$ sea derivable.** Para que una función sea derivable, primero debe ser **continua**. Estudiamos el salto entre las ramas en $x = 1$: 1. **Valor de la función:** $f(1) = 1$. 2. **Límite por la izquierda ($x \to 1^-$):** $$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} 1 = 1.$$ 3. **Límite por la derecha ($x \to 1^+$):** $$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (ax^2 + bx) = a(1)^2 + b(1) = a + b.$$ Para que sea continua en $x = 1$, los límites laterales deben ser iguales: $$a + b = 1 \quad \text{(Ecuación 1)}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivabilidad implica continuidad, pero la continuidad no siempre implica derivabilidad. Siempre comprueba la continuidad primero.

Calculamos la derivada de la función en las regiones donde está definida: $$f'(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < 1 \\ 2ax + b & \text{si } x > 1 \end{cases}$$ Para que sea derivable en $x = 1$, las derivadas laterales deben coincidir: 1. **Derivada por la izquierda:** $f'(1^-) = 0$. 2. **Derivada por la derecha:** $f'(1^+) = 2a(1) + b = 2a + b$. Igualamos ambas expresiones: $$2a + b = 0 \quad \text{(Ecuación 2)}$$

Resolvemos el sistema formado por las dos condiciones: $$\begin{cases} a + b = 1 \\ 2a + b = 0 \end{cases}$$ Restamos la primera ecuación a la segunda: $$(2a + b) - (a + b) = 0 - 1 \implies a = -1.$$ Sustituimos $a = -1$ en la primera ecuación: $$-1 + b = 1 \implies b = 2.$$ Los valores que hacen que la función sea derivable en todo $\mathbb{R}$ son $a = -1$ y $b = 2$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = -1, \, b = 2}$$