Discusión de un sistema de ecuaciones lineales con parámetro

**Discuta, según los valores del parámetro $m$, el sistema $\begin{cases} (m + 1)x + my + z = 0, \\ y + (m - 2)z = -2, \\ (m + 1)x + my + (m - 1)z = -3. \end{cases}$** Para discutir el sistema según el parámetro $m$, utilizaremos el **Teorema de Rouché-Frobenius**. Primero, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} m+1 & m & 1 \\ 0 & 1 & m-2 \\ m+1 & m & m-1 \end{pmatrix}, \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} m+1 & m & 1 & 0 \\ 0 & 1 & m-2 & -2 \\ m+1 & m & m-1 & -3 \end{array}\right)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que un sistema es compatible si el rango de la matriz de coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada ($ ext{rg}(A) = ext{rg}(A^*)$).

Calculamos el determinante de $A$ para ver para qué valores de $m$ el rango es máximo (rango 3). Podemos aplicar la regla de Sarrus o simplificar por filas. Aplicamos la operación elemental $F_3 \to F_3 - F_1$ para facilitar el cálculo: $$|A| = \begin{vmatrix} m+1 & m & 1 \\ 0 & 1 & m-2 \\ m+1 & m & m-1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} m+1 & m & 1 \\ 0 & 1 & m-2 \\ 0 & 0 & (m-1)-1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} m+1 & m & 1 \\ 0 & 1 & m-2 \\ 0 & 0 & m-2 \end{vmatrix}$$ Al ser una matriz triangular superior, el determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal: $$|A| = (m+1) \cdot 1 \cdot (m-2) = (m+1)(m-2)$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$(m+1)(m-2) = 0 \implies \mathbf{m = -1} \quad \text{y} \quad \mathbf{m = 2}$$ 💡 **Tip:** El uso de operaciones elementales entre filas en un determinante ayuda a crear ceros y simplifica mucho los cálculos algebraicos.

Si $m \neq -1$ y $m \neq 2$, el determinante de $A$ es distinto de cero ($|A| \neq 0$). Esto implica que: - $\text{rg}(A) = 3$ - $\text{rg}(A^*) = 3$ (ya que la matriz ampliada contiene a la matriz $A$) - El número de incógnitas es $n = 3$ Como $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = n = 3$, según el **Teorema de Rouché-Frobenius**: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } m \neq -1, 2, \text{ el sistema es Compatible Determinado (SCD)}}$$

Sustituimos $m = -1$ en la matriz ampliada $A^*$: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -3 & -2 \\ 0 & -1 & -2 & -3 \end{array}\right)$$ Analizamos los rangos: 1. **Rango de A:** La primera columna es de ceros. El menor $\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} = 3 - 1 = 2 \neq 0$, por lo que $\mathbf{\text{rg}(A) = 2}$. 2. **Rango de A*:** Tomamos el determinante formado por las columnas 2, 3 y 4: $$\begin{vmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 1 & -3 & -2 \\ -1 & -2 & -3 \end{vmatrix} = [-1(-3)(-3) + 1(-2)(-1) + 0] - [0 + (-1)(-2)(-2) + (-1)(1)(-3)]$$ $$= [-9 + 2] - [-4 + 3] = -7 - (-1) = -6 \neq 0$$ Esto significa que $\mathbf{\text{rg}(A^*) = 3}$. Como $\text{rg}(A) \neq \text{rg}(A^*)$: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } m = -1, \text{ el sistema es Incompatible (SI)}}$$

Sustituimos $m = 2$ en la matriz ampliada $A^*$: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -2 \\ 3 & 2 & 1 & -3 \end{array}\right)$$ Analizamos los rangos: 1. **Rango de A:** La fila 1 y la fila 3 son idénticas ($F_1 = F_3$), por lo que el rango no puede ser 3. El menor $\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 3 \neq 0$, por lo que $\mathbf{\text{rg}(A) = 2}$. 2. **Rango de A*:** Observamos la fila 1 y la fila 3 de la matriz ampliada. Los coeficientes son iguales ($3x + 2y + z$), pero los términos independientes son diferentes ($0$ y $-3$). Esto indica una contradicción. Si lo calculamos mediante un menor de orden 3: $$\begin{vmatrix} 3 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -2 \\ 3 & 2 & -3 \end{vmatrix} = [-9 - 12 + 0] - [0 - 12 + 0] = -21 + 12 = -9 \neq 0$$ Por tanto, $\mathbf{\text{rg}(A^*) = 3}$. Como $\text{rg}(A) \neq \text{rg}(A^*)$: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } m = 2, \text{ el sistema es Incompatible (SI)}}$$