Matrices antisimétricas, inversas y determinantes

**a) Obtenga la matriz antisimétrica $A$ de orden $2 \times 2$ tal que $a_{12} = 1$. Luego, calcule su inversa en caso de que exista.** Una matriz $A$ es antisimétrica si se cumple que $A^T = -A$. Para una matriz de orden $2 \times 2$, esto implica que: 1. Los elementos de la diagonal principal deben ser cero: $a_{11} = 0$ y $a_{22} = 0$. 2. Los elementos fuera de la diagonal deben ser opuestos: $a_{21} = -a_{12}$. Dado que el enunciado indica que $a_{12} = 1$, entonces: $$a_{21} = -1$$ Por tanto, la matriz $A$ es: $$\boxed{A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en cualquier matriz antisimétrica, la diagonal siempre está formada por ceros porque $a_{ii} = -a_{ii} \implies 2a_{ii} = 0$.

Para que exista la inversa $A^{-1}$, el determinante de la matriz debe ser distinto de cero. Calculamos el determinante de $A$: $$\det(A) = |A| = \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = (0 \cdot 0) - (1 \cdot (-1)) = 0 + 1 = 1$$ Como $\det(A) = 1 \neq 0$, la matriz **$A$ es invertible**. Calculamos la matriz inversa mediante la fórmula $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{Adj}(A)^T$: 1. Matriz de adjuntos $\text{Adj}(A)$: $Adj(a_{11}) = 0$ $Adj(a_{12}) = -(-1) = 1$ $Adj(a_{21}) = -(1) = -1$ $Adj(a_{22}) = 0$ $\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ 2. Transpuesta de la adjunta: $\text{Adj}(A)^T = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ 3. Inversa: $A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ ✅ **Resultado de A⁻¹:** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}}$$

**b) Sea $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$. Si $B = \begin{pmatrix} 0 & b_{12} \\ 1 & b_{22} \end{pmatrix}$, halle los valores de $b_{12}$ y de $b_{22}$ sabiendo que $B$ no tiene inversa y que $\det(A^{-1}B + A) = -1$.** Si la matriz $B$ no tiene inversa, su determinante debe ser igual a cero: $$\det(B) = \begin{vmatrix} 0 & b_{12} \\ 1 & b_{22} \end{vmatrix} = 0$$ $$(0 \cdot b_{22}) - (b_{12} \cdot 1) = 0$$ $$-b_{12} = 0 \implies b_{12} = 0$$ Por lo tanto, la matriz $B$ tiene la forma: $$\boxed{B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & b_{22} \end{pmatrix}}$$ 💡 **Tip:** Una matriz cuadrada es singular (no tiene inversa) si y solo si su determinante es nulo.

Utilizamos la matriz $A^{-1}$ hallada en el apartado anterior (ya que $A$ es la misma matriz) y calculamos el producto $A^{-1}B$: $$A^{-1}B = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & b_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (0 \cdot 0 + (-1) \cdot 1) & (0 \cdot 0 + (-1) \cdot b_{22}) \\ (1 \cdot 0 + 0 \cdot 1) & (1 \cdot 0 + 0 \cdot b_{22}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -b_{22} \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$ Ahora sumamos la matriz $A$: $$A^{-1}B + A = \begin{pmatrix} -1 & -b_{22} \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1+0 & -b_{22}+1 \\ 0-1 & 0+0 \end{pmatrix}$$ $$\boxed{A^{-1}B + A = \begin{pmatrix} -1 & 1 - b_{22} \\ -1 & 0 \end{pmatrix}}$$

Se nos indica que $\det(A^{-1}B + A) = -1$. Calculamos el determinante de la matriz resultante del paso anterior: $$\begin{vmatrix} -1 & 1 - b_{22} \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = -1$$ $$(-1 \cdot 0) - (-1 \cdot (1 - b_{22})) = -1$$ $$0 + (1 - b_{22}) = -1$$ $$1 - b_{22} = -1$$ $$-b_{22} = -2 \implies b_{22} = 2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{b_{12} = 0, \quad b_{22} = 2}$$ 💡 **Tip:** Al operar con determinantes de orden 2, ten mucho cuidado con los signos negativos, especialmente en la resta de la diagonal secundaria: $(a_{11}a_{22}) - (a_{12}a_{21})$.