Distribución Binomial: Examen de Opción Múltiple

**a) cinco preguntas, (0,75 puntos)** Primero, identificamos el tipo de experimento. Se trata de una serie de 10 experimentos independientes (preguntas), donde cada uno tiene solo dos resultados posibles: éxito (acertar) o fracaso (no acertar). Por tanto, estamos ante una **distribución binomial**. Definimos la variable aleatoria $X$ como el "número de preguntas acertadas". - Número de ensayos: $n = 10$. - Probabilidad de éxito (acertar una pregunta al azar entre 4 opciones): $p = \frac{1}{4} = 0,25$. - Probabilidad de fracaso: $q = 1 - p = 0,75$. La distribución es $X \sim B(10, \, 0,25)$. La fórmula de la probabilidad binomial es: $$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$$ Para $k = 5$: $$P(X=5) = \binom{10}{5} (0,25)^5 (0,75)^{10-5}$$ $$P(X=5) = \frac{10!}{5! \cdot 5!} \cdot (0,25)^5 \cdot (0,75)^5$$ $$P(X=5) = 252 \cdot 0,0009765 \cdot 0,23730 \approx 0,0584$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el número combinatorio $\binom{n}{k}$ se calcula como $\frac{n!}{k!(n-k)!}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X=5) \approx 0,0584}$$

**b) alguna pregunta. (0,75 puntos)** Calcular la probabilidad de acertar "alguna" pregunta significa calcular $P(X \ge 1)$. Es mucho más sencillo calcularlo a través del **suceso contrario** (no acertar ninguna pregunta). El suceso contrario a $X \ge 1$ es $X = 0$. $$P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)$$ Calculamos $P(X = 0)$: $$P(X = 0) = \binom{10}{0} (0,25)^0 (0,75)^{10}$$ $$P(X = 0) = 1 \cdot 1 \cdot (0,75)^{10} \approx 0,0563$$ Ahora restamos de la unidad: $$P(X \ge 1) = 1 - 0,0563 = 0,9437$$ 💡 **Tip:** En problemas de probabilidad, frases como "al menos uno" o "alguno" suelen resolverse más rápido usando $1 - P(\text{ninguno})$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \ge 1) \approx 0,9437}$$

**c) Calcular la media y la desviación típica de la distribución. (0,5 puntos)** En una distribución binomial $B(n, p)$, los parámetros se calculan con las siguientes fórmulas directas: 1. **Media (Esperanza matemática) $\mu$:** $$\mu = n \cdot p$$ $$\mu = 10 \cdot 0,25 = 2,5$$ Esto significa que, en promedio, se espera acertar **2,5 preguntas**. 2. **Desviación típica $\sigma$:** $$\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q}$$ Como $q = 0,75$: $$\sigma = \sqrt{10 \cdot 0,25 \cdot 0,75} = \sqrt{1,875}$$ $$\sigma \approx 1,3693$$ 💡 **Tip:** La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza ($V = n \cdot p \cdot q$). Asegúrate de no olvidar la raíz. ✅ **Resultados:** $$\boxed{\mu = 2,5 \text{ preguntas}} \quad \boxed{\sigma \approx 1,3693 \text{ preguntas}}$$