Probabilidades de alergias alimentarias

**a) tenga solo una de las dos alergias, (1 punto)** Primero, definimos los sucesos principales a partir del enunciado: - $C$: El alumno es celiaco. - $L$: El alumno es alérgico a la lactosa. Los datos proporcionados en términos de probabilidad son: - $P(C) = 10\% = 0,10$ - $P(L) = 15\% = 0,15$ - $P(C \cup L) = 20\% = 0,20$ (probabilidad de tener alguna de las dos) Para resolver cualquier apartado, es fundamental calcular primero la probabilidad de que un alumno tenga ambas alergias (la intersección $C \cap L$). Usamos la propiedad de la unión: $$P(C \cup L) = P(C) + P(L) - P(C \cap L)$$ Sustituimos los valores: $$0,20 = 0,10 + 0,15 - P(C \cap L)$$ $$P(C \cap L) = 0,25 - 0,20 = 0,05$$ 💡 **Tip:** Recuerda que "alguna de las dos" equivale a la unión ($A \cup B$), mientras que "las dos a la vez" equivale a la intersección ($A \cap B$).

Para visualizar mejor los datos y facilitar los cálculos, construimos una tabla de contingencia con los valores obtenidos: $$\begin{array}{c|cc|c} & L & \bar{L} & \text{Total} \\ \hline C & 0,05 & 0,05 & 0,10 \\ \bar{C} & 0,10 & 0,80 & 0,90 \\ \hline \text{Total} & 0,15 & 0,85 & 1,00 \end{array}$$ Donde: - $P(C \cap L) = 0,05$ (calculado anteriormente). - $P(C \cap \bar{L}) = P(C) - P(C \cap L) = 0,10 - 0,05 = 0,05$. - $P(\bar{C} \cap L) = P(L) - P(C \cap L) = 0,15 - 0,05 = 0,10$. - $P(\bar{C} \cap \bar{L}) = 1 - P(C \cup L) = 1 - 0,20 = 0,80$.

El suceso "tener solo una de las dos alergias" ocurre en dos casos excluyentes: ser celiaco y no alérgico a la lactosa, o ser alérgico a la lactosa y no celiaco. $$P(\text{Solo una}) = P(C \cap \bar{L}) + P(\bar{C} \cap L)$$ Sustituimos los valores de nuestra tabla: $$P(\text{Solo una}) = 0,05 + 0,10 = 0,15$$ Otra forma de calcularlo es restando la intersección a la unión: $$P(C \cup L) - P(C \cap L) = 0,20 - 0,05 = 0,15$$ ✅ **Resultado (a):** $$\boxed{P(\text{Solo una}) = 0,15}$$ 💡 **Tip:** "Solo uno" de los sucesos se puede ver gráficamente como la unión menos la intersección (la diferencia simétrica).

**b) sea celiaco si sabemos que no es alérgico a la lactosa. (1 punto)** Se trata de una probabilidad condicionada. Queremos hallar la probabilidad de que sea celiaco ($C$) sabiendo que no es alérgico a la lactosa ($\bar{L}$). Aplicamos la fórmula de la probabilidad condicionada: $$P(C | \bar{L}) = \frac{P(C \cap \bar{L})}{P(\bar{L})}$$ De la tabla o los datos anteriores sabemos: - $P(C \cap \bar{L}) = 0,05$ - $P(\bar{L}) = 1 - P(L) = 1 - 0,15 = 0,85$ Calculamos: $$P(C | \bar{L}) = \frac{0,05}{0,85} = \frac{5}{85}$$ Simplificando la fracción: $$P(C | \bar{L}) = \frac{1}{17} \approx 0,0588$$ ✅ **Resultado (b):** $$\boxed{P(C | \bar{L}) = \frac{1}{17} \approx 0,0588}$$ 💡 **Tip:** En la probabilidad condicionada $P(A|B)$, el suceso $B$ (lo que sabemos) pasa a ser el nuevo "espacio muestral" o denominador.