Área de una función trigonométrica

Para calcular el área encerrada por una función y el eje OX en un intervalo dado, primero debemos identificar si la función corta al eje OX dentro de ese intervalo, ya que esto determinará si el área se divide en varios recintos. El eje OX tiene por ecuación $y=0$. Por tanto, igualamos la función a cero en el intervalo $[0, \pi]$: $$\text{sen}(2x) = 0$$ Sabemos que el seno es cero en los ángulos de la forma $k\pi$ para $k \in \mathbb{Z}$: $$2x = 0 + k\pi \implies x = \frac{k\pi}{2}$$ Buscamos los valores de $x$ dentro del intervalo $[0, \pi]$: - Si $k=0: x = 0$ (extremo del intervalo). - Si $k=1: x = \frac{\pi}{2}$ (punto interior). - Si $k=2: x = \pi$ (extremo del intervalo). El punto de corte dentro del intervalo es **$x = \frac{\pi}{2}$**. Esto divide nuestra región en dos recintos de integración: $[0, \pi/2]$ y $[\pi/2, \pi]$. 💡 **Tip:** Es fundamental encontrar los puntos de corte. Si integramos directamente de $0$ a $\pi$ sin tener en cuenta que la función cambia de signo, las áreas positiva y negativa se cancelarían y el resultado sería erróneo.

Calculamos primero la primitiva de la función $f(x) = \text{sen}(2x)$. Se trata de una integral inmediata de tipo trigonométrico: $$\int \text{sen}(2x) \, dx = -\frac{1}{2} \cos(2x) + C$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\int \text{sen}(ax) \, dx = -\frac{1}{a} \cos(ax) + C$. En este caso, $a=2$.

Calculamos el valor de la integral definida en los dos recintos hallados anteriormente. **Recinto 1: Intervalo $[0, \pi/2]$** $$I_1 = \int_{0}^{\pi/2} \text{sen}(2x) \, dx = \left[ -\frac{1}{2} \cos(2x) \right]_{0}^{\pi/2}$$ $$I_1 = \left( -\frac{1}{2} \cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{2}\right) \right) - \left( -\frac{1}{2} \cos(2 \cdot 0) \right)$$ $$I_1 = \left( -\frac{1}{2} \cos(\pi) \right) - \left( -\frac{1}{2} \cos(0) \right) = \left( -\frac{1}{2}(-1) \right) - \left( -\frac{1}{2}(1) \right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$$ **Recinto 2: Intervalo $[\pi/2, \pi]$** $$I_2 = \int_{\pi/2}^{\pi} \text{sen}(2x) \, dx = \left[ -\frac{1}{2} \cos(2x) \right]_{\pi/2}^{\pi}$$ $$I_2 = \left( -\frac{1}{2} \cos(2\pi) \right) - \left( -\frac{1}{2} \cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{2}\right) \right)$$ $$I_2 = \left( -\frac{1}{2}(1) \right) - \left( -\frac{1}{2}(-1) \right) = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2} = -1$$ 💡 **Tip:** El signo negativo en $I_2$ indica que en ese intervalo la función se encuentra por debajo del eje OX.

El área total es la suma de los valores absolutos de las integrales obtenidas en cada recinto: $$A = |I_1| + |I_2|$$ $$A = |1| + |-1| = 1 + 1 = 2 \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = 2 \text{ unidades cuadradas}}$$