Cálculo de una función a partir de su derivada y una condición inicial

Para encontrar la función $f(x)$ a partir de su derivada $f'(x)$, debemos calcular la integral indefinida: $$f(x) = \int f'(x) \, dx = \int (2x + 1)e^{-x} \, dx.$$ Como la función es un producto de un polinomio por una exponencial, utilizaremos el método de **integración por partes**. 💡 **Tip:** Recuerda la fórmula de integración por partes: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. Una regla mnemotécnica común para elegir $u$ es **ALPES** (Arcos, Logaritmos, Polinomios, Exponenciales, Senos/Cosenos).

Elegimos las partes para aplicar el método: - Sea $u = 2x + 1 \implies du = 2 \, dx$ - Sea $dv = e^{-x} \, dx \implies v = \int e^{-x} \, dx = -e^{-x}$ Aplicamos la fórmula: $$\int (2x + 1)e^{-x} \, dx = (2x + 1)(-e^{-x}) - \int -e^{-x} \cdot 2 \, dx$$ Simplificamos y resolvemos la integral restante: $$f(x) = -(2x + 1)e^{-x} + 2 \int e^{-x} \, dx$$ $$f(x) = -(2x + 1)e^{-x} - 2e^{-x} + C$$ Podemos factorizar $e^{-x}$ para simplificar la expresión: $$f(x) = e^{-x} [-(2x + 1) - 2] + C$$ $$f(x) = e^{-x} (-2x - 1 - 2) + C = (-2x - 3)e^{-x} + C$$ $$\boxed{f(x) = (-2x - 3)e^{-x} + C}$$

El enunciado indica que la gráfica de la función **pasa por el origen de coordenadas**, lo que significa que $f(0) = 0$. Sustituimos $x = 0$ en la expresión de la función: $$f(0) = (-2(0) - 3)e^{0} + C = 0$$ $$(-3) \cdot 1 + C = 0 \implies -3 + C = 0$$ $$C = 3$$ 💡 **Tip:** El origen de coordenadas es el punto $(0,0)$. Siempre que un ejercicio mencione que una función 'pasa por' un punto $(a,b)$, se debe cumplir la condición $f(a) = b$.

Sustituimos el valor de $C$ en la expresión de $f(x)$ para obtener la función buscada: $$f(x) = (-2x - 3)e^{-x} + 3$$ También se puede expresar como: $$f(x) = 3 - (2x + 3)e^{-x}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{f(x) = (-2x - 3)e^{-x} + 3}$$ A continuación, se muestra la representación gráfica de la función obtenida, donde se puede observar que cumple la condición de pasar por el origen $(0,0)$.