Estudio de continuidad, derivabilidad y constante en valor absoluto

**a) Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función. (1 punto)** Para trabajar con la función $f(x) = |x + 1| + |x - 2|$, primero debemos expresarla como una función definida a trozos. Para ello, analizamos los valores donde se anulan los argumentos de los valores absolutos: - $x + 1 = 0 \implies x = -1$ - $x - 2 = 0 \implies x = 2$ Estos puntos dividen la recta real en tres intervalos: $(-\infty, -1)$, $[-1, 2)$ y $[2, +\infty)$. Analizamos el signo de cada sumando en dichos intervalos: 1. Si $x < -1$: $f(x) = -(x + 1) - (x - 2) = -x - 1 - x + 2 = -2x + 1$ 2. Si $-1 \le x < 2$: $f(x) = (x + 1) - (x - 2) = x + 1 - x + 2 = 3$ 3. Si $x \ge 2$: $f(x) = (x + 1) + (x - 2) = x + 1 + x - 2 = 2x - 1$ Por tanto, la función es: $$f(x)=\begin{cases} -2x + 1 & \text{si } x < -1,\\ 3 & \text{si } -1 \le x < 2,\\ 2x - 1 & \text{si } x \ge 2. \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $|A| = A$ si $A \ge 0$ y $|A| = -A$ si $A < 0$. Al sumar varios valores absolutos, la función resultante siempre será continua en todo $\mathbb{R}$.

La función está compuesta por polinomios de primer grado, que son continuos en sus respectivos intervalos. Debemos comprobar qué sucede en los puntos de salto entre ramas: $x = -1$ y $x = 2$. **Continuidad en $x = -1$:** - $f(-1) = 3$ - $\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1} (-2x + 1) = -2(-1) + 1 = 3$ - $\lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1} 3 = 3$ Como $f(-1) = \lim_{x \to -1} f(x)$, la función es continua en $x = -1$. **Continuidad en $x = 2$:** - $f(2) = 2(2) - 1 = 3$ - $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2} 3 = 3$ - $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2} (2x - 1) = 2(2) - 1 = 3$ Como $f(2) = \lim_{x \to 2} f(x)$, la función es continua en $x = 2$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La función } f(x) \text{ es continua en todo } \mathbb{R}}$$

Calculamos la derivada de la función en los intervalos abiertos: $$f'(x)=\begin{cases} -2 & \text{si } x < -1,\\ 0 & \text{si } -1 < x < 2,\\ 2 & \text{si } x > 2. \end{cases}$$ Analizamos la derivabilidad en los puntos de unión estudiando las derivadas laterales: **En $x = -1$:** - $f'(-1^-) = -2$ - $f'(-1^+) = 0$ Como $f'(-1^-) \neq f'(-1^+)$, la función **no es derivable en $x = -1$**. **En $x = 2$:** - $f'(2^-) = 0$ - $f'(2^+) = 2$ Como $f'(2^-) \neq f'(2^+)$, la función **no es derivable en $x = 2$**. 💡 **Tip:** Gráficamente, en estos puntos la función presenta "picos" o puntos angulosos donde no existe una única recta tangente. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Derivable en } \mathbb{R} \setminus \{-1, 2\}}$$

**b) Calcular el intervalo donde la función permanece constante. (1 punto)** Una función es constante en un intervalo si su derivada es igual a cero en dicho intervalo o si el valor de la función no varía. Observando la definición por trozos obtenida en el primer paso: $$f(x) = 3 \quad \text{si } -1 \le x \le 2$$ En este tramo, la gráfica es una línea horizontal. El intervalo incluye los extremos porque la función es continua y mantiene el valor $y = 3$ tanto en $x = -1$ como en $x = 2$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Intervalo constante: } [-1, 2]}$$