Continuidad de una función con parámetros y regla de L'Hôpital

Para que la función $f(x)$ sea continua en el punto $x = 0$, se deben cumplir las siguientes condiciones: 1. Que exista el valor de la función en el punto: $f(0) = a$. 2. Que exista el límite de la función cuando $x$ tiende a 0: $\lim_{x \to 0} f(x)$. 3. Que ambos valores coincidan: $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$. Por tanto, el problema se reduce a calcular el siguiente límite y determinar que su valor sea igual a $a$: $$\lim_{x \to 0} \frac{x e^x - \text{sen } x}{x^2} = a$$ 💡 **Tip:** Recuerda que una función definida a trozos es continua en un punto de salto si el valor de la función coincide con el límite en dicho punto.

Calculamos el límite de la función cuando $x$ tiende a 0: $$\lim_{x \to 0} \frac{x e^x - \text{sen } x}{x^2} = \frac{0 \cdot e^0 - \text{sen } 0}{0^2} = \frac{0 - 0}{0} = \frac{0}{0}$$ Obtenemos una **indeterminación de la forma $\frac{0}{0}$**, por lo que podemos aplicar la **regla de L'Hôpital**, que consiste en derivar el numerador y el denominador de forma independiente. 💡 **Tip:** La regla de L'Hôpital nos dice que $\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ si se cumple la indeterminación $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$.

Derivamos el numerador $(x e^x - \text{sen } x)'$ y el denominador $(x^2)'$: - Derivada del numerador: usamos la regla del producto para $x e^x$, que es $(1 \cdot e^x + x \cdot e^x) - \cos x = e^x + x e^x - \cos x$. - Derivada del denominador: $2x$. Aplicamos el límite: $$\lim_{x \to 0} \frac{x e^x - \text{sen } x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x + x e^x - \cos x}{2x}$$ Evaluamos de nuevo en $x = 0$: $$\frac{e^0 + 0 \cdot e^0 - \cos 0}{2(0)} = \frac{1 + 0 - 1}{0} = \frac{0}{0}$$ Persiste la **indeterminación $\frac{0}{0}$**, por lo que aplicamos la regla de L'Hôpital por segunda vez.

Derivamos de nuevo el numerador $(e^x + x e^x - \cos x)'$ y el denominador $(2x)'$: - Derivada del numerador: $e^x + (e^x + x e^x) - (-\text{sen } x) = 2e^x + x e^x + \text{sen } x$. - Derivada del denominador: $2$. Calculamos el límite: $$\lim_{x \to 0} \frac{e^x + x e^x - \cos x}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{2e^x + x e^x + \text{sen } x}{2}$$ Sustituimos $x = 0$: $$\lim_{x \to 0} \frac{2e^x + x e^x + \text{sen } x}{2} = \frac{2e^0 + 0 \cdot e^0 + \text{sen } 0}{2} = \frac{2(1) + 0 + 0}{2} = \frac{2}{2} = 1$$ 💡 **Tip:** Al derivar por segunda vez, asegúrate de aplicar correctamente la regla del producto de nuevo sobre el término $x e^x$.

Una vez calculado el límite, igualamos el resultado al valor de la función en el punto para garantizar la continuidad: $$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) \implies 1 = a$$ Por tanto, para que la función sea continua en $x = 0$, el valor de $a$ debe ser 1. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = 1}$$