Plano que contiene una recta y plano perpendicular a una recta

**a) Hallar la ecuación del plano que pasa por el origen y contiene a $r$. (1 punto)** En primer lugar, identificamos un punto $P_r$ y el vector director $\vec{v_r}$ de la recta $r$ a partir de su ecuación continua: $$r: \frac{x - x_0}{v_1} = \frac{y - y_0}{v_2} = \frac{z - z_0}{v_3}$$ Comparando con el enunciado: - Punto de la recta: $P_r = (1, -1, 2)$ - Vector director: $\vec{v_r} = (2, 3, 1)$ 💡 **Tip:** Recuerda que en la ecuación continua, las coordenadas del punto aparecen restando a $x, y, z$ en los numeradores, y las componentes del vector son los denominadores.

Para hallar el plano $\pi_1$ que contiene a $r$ y pasa por el origen $O(0, 0, 0)$, necesitamos un punto del plano y dos vectores directores no colineales. 1. **Punto del plano:** Usaremos el origen $O(0, 0, 0)$. 2. **Primer vector director:** Como el plano contiene a $r$, debe contener a su vector director: $\vec{u} = \vec{v_r} = (2, 3, 1)$. 3. **Segundo vector director:** Podemos usar el vector que une el origen $O$ con el punto $P_r$ de la recta: $$\vec{v} = \vec{OP_r} = (1 - 0, -1 - 0, 2 - 0) = (1, -1, 2)$$ Como $\vec{u}$ y $\vec{v}$ no son proporcionales ($\frac{2}{1} \neq \frac{3}{-1}$), definen un plano.

La ecuación del plano se obtiene igualando a cero el determinante formado por un punto genérico $X(x, y, z)$ y los vectores directores: $$\begin{vmatrix} x - 0 & y - 0 & z - 0 \\ 1 & -1 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix} = 0 \implies \begin{vmatrix} x & y & z \\ 1 & -1 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix} = 0$$ Resolvemos por Sarrus: $$x \cdot (-1) \cdot 1 + y \cdot 2 \cdot 2 + z \cdot 1 \cdot 3 - (z \cdot (-1) \cdot 2 + x \cdot 2 \cdot 3 + y \cdot 1 \cdot 1) = 0$$ $$-x + 4y + 3z - (-2z + 6x + y) = 0$$ $$-x + 4y + 3z + 2z - 6x - y = 0$$ $$-7x + 3y + 5z = 0$$ Multiplicando por $-1$ para simplificar: $$7x - 3y - 5z = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{7x - 3y - 5z = 0}$$

**b) Hallar la ecuación del plano que pasa por el origen y es perpendicular a $r$. (1 punto)** Si un plano $\pi_2$ es perpendicular a una recta $r$, el vector director de la recta $\vec{v_r}$ es el vector normal del plano $\vec{n}$. Como $\vec{v_r} = (2, 3, 1)$, entonces: $$\vec{n_{\pi_2}} = (2, 3, 1)$$ La ecuación general de un plano con vector normal $(A, B, C)$ es $Ax + By + Cz + D = 0$. En nuestro caso: $$2x + 3y + z + D = 0$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si una recta es perpendicular a un plano, el vector director de la recta y el vector normal del plano son paralelos (pueden ser el mismo).

Como el plano debe pasar por el origen $O(0, 0, 0)$, sustituimos sus coordenadas en la ecuación para hallar $D$: $$2(0) + 3(0) + (0) + D = 0 \implies D = 0$$ Por tanto, la ecuación del plano perpendicular a $r$ que pasa por el origen es: $$2x + 3y + z = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{2x + 3y + z = 0}$$