Intersección de recta y plano y distancia de un punto a una recta

**a) Hallar el punto de intersección del plano $\pi$ y la recta $r$. (1 punto)** Para hallar la intersección de una recta y un plano, lo más sencillo es expresar la recta en ecuaciones paramétricas. A partir de las ecuaciones implícitas de $r$: $$r \equiv \begin{cases} y - 2x = 1 \\ x - z = 0 \end{cases}$$ Podemos tomar $x$ como parámetro $\lambda$: 1. De la segunda ecuación: $x - z = 0 \implies z = x = \lambda$. 2. De la primera ecuación: $y - 2x = 1 \implies y = 1 + 2x = 1 + 2\lambda$. Por tanto, las ecuaciones paramétricas de la recta $r$ son: $$r \equiv \begin{cases} x = \lambda \\ y = 1 + 2\lambda \\ z = \lambda \end{cases}$$ De aquí identificamos un punto de la recta $P_r(0, 1, 0)$ y su vector director $\vec{v}_r = (1, 2, 1)$. 💡 **Tip:** Pasar a paramétricas facilita sustituir directamente las coordenadas $(x, y, z)$ en la ecuación del plano.

Sustituimos las expresiones de $x, y, z$ de la recta $r$ en la ecuación del plano $\pi: x + 2y - z = 0$: $$(\lambda) + 2(1 + 2\lambda) - (\lambda) = 0$$ Operamos para hallar el valor del parámetro $\lambda$: $$\lambda + 2 + 4\lambda - \lambda = 0$$ $$4\lambda + 2 = 0 \implies 4\lambda = -2 \implies \lambda = -\frac{1}{2}$$ Ahora, sustituimos $\lambda = -1/2$ en las ecuaciones paramétricas de $r$ para obtener el punto $P$: - $x = -\frac{1}{2}$ - $y = 1 + 2\left(-\frac{1}{2}\right) = 1 - 1 = 0$ - $z = -\frac{1}{2}$ ✅ **Resultado (punto de intersección):** $$\boxed{P\left(-\frac{1}{2}, 0, -\frac{1}{2}\right)}$$

**b) Calcular la distancia del origen a la recta $r$. (1 punto)** El origen de coordenadas es $O(0, 0, 0)$. Para calcular la distancia de un punto a una recta usamos la fórmula vectorial: $$d(O, r) = \frac{|\vec{v}_r \times \vec{OP_r}|}{|\vec{v}_r|}$$ Donde: - $\vec{v}_r = (1, 2, 1)$ es el vector director de la recta. - $P_r = (0, 1, 0)$ es un punto de la recta. - $\vec{OP_r} = (0, 1, 0) - (0, 0, 0) = (0, 1, 0)$. 💡 **Tip:** Recuerda que la distancia es la longitud del segmento perpendicular desde el punto a la recta. Vectorialmente, esto se resuelve con el área del paralelogramo (producto vectorial) dividida por la base (módulo del vector director).

Calculamos el producto vectorial $\vec{v}_r \times \vec{OP_r}$ mediante el determinante: $$\vec{v}_r \times \vec{OP_r} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$\vec{v}_r \times \vec{OP_r} = \vec{i}(2\cdot 0) + \vec{j}(1\cdot 0) + \vec{k}(1\cdot 1) - [\vec{k}(2\cdot 0) + \vec{i}(1\cdot 1) + \vec{j}(1\cdot 0)]$$ $$\vec{v}_r \times \vec{OP_r} = 0\vec{i} + 0\vec{j} + 1\vec{k} - (0\vec{k} + 1\vec{i} + 0\vec{j}) = -\vec{i} + \vec{k}$$ El vector resultante es **$(-1, 0, 1)$**. Calculamos ahora los módulos necesarios: 1. $|\vec{v}_r \times \vec{OP_r}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ 2. $|\vec{v}_r| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$

Aplicamos los valores obtenidos en la fórmula de la distancia: $$d(O, r) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{2}{6}} = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$ Racionalizando el resultado: $$d(O, r) = \frac{\sqrt{3}}{3} \text{ unidades}$$ ✅ **Resultado (distancia):** $$\boxed{d(O, r) = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0,577 \text{ u}}$$