Resolución de una ecuación matricial

Para resolver la ecuación matricial $M \cdot X - N = 2X$, debemos agrupar los términos que contienen la incógnita $X$ en un lado de la igualdad. Trasponemos los términos: $$M \cdot X - 2X = N$$ Extraemos factor común $X$ por la derecha. Es muy importante recordar que al extraer factor común a un número escalar (en este caso el 2), este debe ir multiplicado por la matriz identidad $I$ de orden 3: $$(M - 2I) \cdot X = N$$ 💡 **Tip:** En álgebra matricial, la extracción de factor común debe respetar el orden (por la izquierda o por la derecha) ya que el producto de matrices no es conmutativo: $A \cdot X + B \cdot X = (A+B) \cdot X$. Llamaremos $A = M - 2I$ a la matriz resultante de la resta. Si la matriz $A$ es invertible, podremos despejar $X$ multiplicando por la izquierda por $A^{-1}$: $$X = (M - 2I)^{-1} \cdot N$$

Calculamos la matriz $A$ restando $2I$ a la matriz $M$: $$A = M - 2I = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$ $$A = \begin{pmatrix} 3-2 & 0 & 0 \\ 2 & 3-2 & 0 \\ 1 & 2 & 3-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$ $$\boxed{A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}}$$

Para que la matriz $A$ tenga inversa, su determinante debe ser distinto de cero. Calculamos $|A|$: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix}$$ Como es una matriz triangular inferior, el determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal: $$|A| = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$$ Como **$|A| = 1 \neq 0$**, la matriz $A$ es regular y **existe su inversa $A^{-1}$**. 💡 **Tip:** Si una matriz es triangular (superior o inferior), su determinante es siempre el producto de los elementos de su diagonal principal.

Utilizamos el método de la matriz adjunta: $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A^t)$. 1) Calculamos la matriz traspuesta $A^t$: $$A^t = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ 2) Hallamos la matriz adjunta de la traspuesta $\text{Adj}(A^t)$ calculando los menores de cada elemento: $$\text{Adj}(A^t) = \begin{pmatrix} +\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} \\ +\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} \end{pmatrix}$$ $$\text{Adj}(A^t) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 3 & -2 & 1 \end{pmatrix}$$ 3) Como $|A|=1$, la matriz inversa coincide con la adjunta calculada: $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 3 & -2 & 1 \end{pmatrix}}$$

Finalmente, calculamos $X = A^{-1} \cdot N$ realizando el producto de matrices: $$X = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 3 & -2 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & -2 \\ 0 & -1 & 3 \end{pmatrix}$$ Realizamos las operaciones fila por columna: - Fila 1: $(1\cdot 0 + 0\cdot 2 + 0\cdot 0, \; 1\cdot 1 + 0\cdot 0 + 0\cdot (-1), \; 1\cdot 0 + 0\cdot (-2) + 0\cdot 3) = (0, 1, 0)$ - Fila 2: $(-2\cdot 0 + 1\cdot 2 + 0\cdot 0, \; -2\cdot 1 + 1\cdot 0 + 0\cdot (-1), \; -2\cdot 0 + 1\cdot (-2) + 0\cdot 3) = (2, -2, -2)$ - Fila 3: $(3\cdot 0 - 2\cdot 2 + 1\cdot 0, \; 3\cdot 1 - 2\cdot 0 + 1\cdot (-1), \; 3\cdot 0 - 2\cdot (-2) + 1\cdot 3) = (-4, 2, 7)$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 2 & -2 & -2 \\ -4 & 2 & 7 \end{pmatrix}}$$