Operaciones con matrices y discusión de sistemas con parámetros

**a) Calcular, cuando sea posible, las matrices $C \cdot B^t$, $B^t \cdot C$, $B \cdot C$, donde $B^t$ es la matriz traspuesta de $B$. (0,5 puntos)** Primero, calculamos la traspuesta de $B$. Como $B$ es una matriz de dimensiones $3 \times 1$, su traspuesta $B^t$ será una matriz fila de dimensiones $1 \times 3$: $$B^t = \begin{pmatrix} 3 & -1 & -4 \end{pmatrix}$$ Para el producto $C \cdot B^t$, comprobamos las dimensiones: $C$ es $3 \times 1$ y $B^t$ es $1 \times 3$. El número de columnas de $C$ (1) coincide con el número de filas de $B^t$ (1), por lo que el producto es posible y resultará en una matriz $3 \times 3$: $$C \cdot B^t = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & -1 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot 3 & 1\cdot(-1) & 1\cdot(-4) \\ 2\cdot 3 & 2\cdot(-1) & 2\cdot(-4) \\ 1\cdot 3 & 1\cdot(-1) & 1\cdot(-4) \end{pmatrix}$$ Operando: $$\boxed{C \cdot B^t = \begin{pmatrix} 3 & -1 & -4 \\ 6 & -2 & -8 \\ 3 & -1 & -4 \end{pmatrix}}$$ 💡 **Tip:** El producto de una matriz columna por una matriz fila siempre da como resultado una matriz de rango 1.

Calculamos ahora $B^t \cdot C$. Las dimensiones son $1 \times 3$ y $3 \times 1$. El producto es posible y resultará en una matriz $1 \times 1$ (un escalar): $$B^t \cdot C = \begin{pmatrix} 3 & -1 & -4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = (3 \cdot 1) + (-1 \cdot 2) + (-4 \cdot 1) = 3 - 2 - 4 = -3$$ $$\boxed{B^t \cdot C = (-3)}$$ Finalmente, analizamos $B \cdot C$. Las dimensiones son $3 \times 1$ y $3 \times 1$. El número de columnas de $B$ (1) no coincide con el número de filas de $C$ (3). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El producto } B \cdot C \text{ no es posible por incompatibilidad de dimensiones.}}$$

**b) Hallar $a \in \mathbb{R}$ para que el sistema $x \cdot A + y \cdot B = C$ de tres ecuaciones y dos incógnitas $x$ e $y$, sea compatible determinado y resolverlo para ese valor de $a$. (1,5 puntos)** Escribimos la ecuación matricial $x \cdot A + y \cdot B = C$ en forma de sistema de ecuaciones lineales: $$x \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ a \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \implies \begin{cases} 2x + 3y = 1 \\ x - y = 2 \\ ax - 4y = 1 \end{cases}$$ Definimos la matriz de coeficientes $M$ y la matriz ampliada $M^*$: $$M = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \\ a & -4 \end{pmatrix}, \quad M^* = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ a & -4 & 1 \end{pmatrix}$$ Para que el sistema sea **Compatible Determinado (SCD)**, según el Teorema de Rouché-Capelli, debe cumplirse que: $$\text{rango}(M) = \text{rango}(M^*) = n = 2 \text{ (número de incógnitas)}$$

Puesto que la matriz ampliada $M^*$ es de orden $3 \times 3$, para que su rango sea 2, su determinante debe ser nulo. Calculamos $|M^*|$ usando la regla de Sarrus: $$|M^*| = \begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ a & -4 & 1 \end{vmatrix} = [2(-1)(1) + 3(2)(a) + 1(1)(-4)] - [a(-1)(1) + (-4)(2)(2) + 1(1)(3)]$$ $$|M^*| = [-2 + 6a - 4] - [-a - 16 + 3] = (6a - 6) - (-a - 13) = 6a - 6 + a + 13 = 7a + 7$$ Igualamos a cero para encontrar el valor crítico: $$7a + 7 = 0 \implies 7a = -7 \implies a = -1$$ Si $a = -1$, comprobamos el rango de $M$. Tomamos el menor de orden 2 formado por las dos primeras filas: $$\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -2 - 3 = -5 \neq 0 \implies \text{rango}(M) = 2$$ Así, para $a = -1$, $\text{rango}(M) = \text{rango}(M^*) = 2$, por lo que el sistema es Compatible Determinado. ✅ **Valor de a:** $$\boxed{a = -1}$$

Para $a = -1$, el sistema es: $$\begin{cases} 2x + 3y = 1 & (1) \\ x - y = 2 & (2) \\ -x - 4y = 1 & (3) \end{cases}$$ Resolvemos usando las dos primeras ecuaciones. De la ecuación $(2)$ despejamos $x$: $$x = y + 2$$ Sustituimos en la ecuación $(1)$: $$2(y + 2) + 3y = 1 \implies 2y + 4 + 3y = 1 \implies 5y = -3 \implies y = -\frac{3}{5}$$ Ahora calculamos $x$: $$x = -\frac{3}{5} + 2 = -\frac{3}{5} + \frac{10}{5} = \frac{7}{5}$$ Verificamos en la tercera ecuación con $a = -1$: $$-x - 4y = -\left(\frac{7}{5}\right) - 4\left(-\frac{3}{5}\right) = -\frac{7}{5} + \frac{12}{5} = \frac{5}{5} = 1$$ La solución es correcta. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x = \frac{7}{5}, \quad y = -\frac{3}{5}}$$