Distribución normal de las cerezas picotas

Lo primero es definir la variable aleatoria $X$ que describe el diámetro de las cerezas. Sea $X =$ "diámetro de una cereza picota del Jerte en cm". Según el enunciado, esta variable sigue una distribución normal: $$X \sim N(\mu, \sigma) \implies X \sim N(2,5; \, 0,2)$$ Donde la media es $\mu = 2,5$ cm y la desviación típica es $\sigma = 0,2$ cm. 💡 **Tip:** En una distribución normal $N(\mu, \sigma)$, el primer valor es la media aritmética y el segundo es la desviación típica. Es fundamental identificarlos bien para poder tipificar después.

**a) Si se desea seleccionar, para su exportación, el 10 % de las más grandes, ¿a partir de qué tamaño hay que cogerlas? (1 punto)** Buscamos un valor crítico $k$ tal que la probabilidad de que una cereza sea mayor o igual que $k$ sea del $10\%$, es decir, $0,10$. Matemáticamente: $$P(X \ge k) = 0,10$$ Como la tabla de la normal estándar $N(0,1)$ nos da las probabilidades acumuladas por la izquierda ($P(Z \le z)$), transformamos la expresión: $$1 - P(X \le k) = 0,10 \implies P(X \le k) = 0,90$$ 💡 **Tip:** "El $10\%$ de las más grandes" significa que dejan por debajo al $90\%$ de la población. Por eso buscamos el valor cuya probabilidad acumulada es $0,90$.

Para usar la tabla $N(0,1)$, debemos tipificar la variable restando la media y dividiendo por la desviación típica: $$P\left(\frac{X - 2,5}{0,2} \le \frac{k - 2,5}{0,2}\right) = 0,90 \implies P\left(Z \le \frac{k - 2,5}{0,2}\right) = 0,90$$ Buscamos en el interior de la tabla de la normal $N(0,1)$ el valor de probabilidad más cercano a $0,90$. Observamos que: - Para $z = 1,28$, la probabilidad es $0,8997$. - Para $z = 1,29$, la probabilidad es $0,9015$. Tomamos el valor más próximo, $z = 1,28$ (o el valor exacto por interpolación $1,2815$). Usaremos **$z = 1,28$**. Igualamos: $$\frac{k - 2,5}{0,2} = 1,28$$ Despejamos $k$: $$k - 2,5 = 1,28 \cdot 0,2$$ $$k - 2,5 = 0,256 \implies k = 2,756$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Hay que cogerlas a partir de un tamaño de } 2,756 \text{ cm}}$$

**b) Si tomamos una cereza picota del Jerte al azar ¿qué probabilidad tiene la cereza de tener un diámetro entre 2,2 cm y 2,8 cm? (1 punto)** Nos piden calcular la probabilidad $P(2,2 \le X \le 2,8)$. Tipificamos ambos valores de la misma forma que en el apartado anterior: $$P\left(\frac{2,2 - 2,5}{0,2} \le Z \le \frac{2,8 - 2,5}{0,2}\right)$$ $$P\left(\frac{-0,3}{0,2} \le Z \le \frac{0,3}{0,2}\right) = P(-1,5 \le Z \le 1,5)$$ 💡 **Tip:** Al tipificar, aplicamos la fórmula $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$. Esto nos permite comparar cualquier distribución normal con la estándar de la tabla.

Aplicamos las propiedades de la distribución normal para calcular la probabilidad del intervalo: $$P(-1,5 \le Z \le 1,5) = P(Z \le 1,5) - P(Z \le -1,5)$$ Por simetría de la campana de Gauss, $P(Z \le -1,5) = 1 - P(Z \le 1,5)$, por lo tanto: $$P(Z \le 1,5) - [1 - P(Z \le 1,5)] = 2 \cdot P(Z \le 1,5) - 1$$ Buscamos en la tabla el valor para $z = 1,5$: $$P(Z \le 1,5) = 0,9332$$ Calculamos el resultado final: $$P = 2 \cdot 0,9332 - 1 = 1,8664 - 1 = 0,8664$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(2,2 \le X \le 2,8) = 0,8664}$$