Probabilidad de práctica deportiva en la UEX

En primer lugar, definimos los sucesos del enunciado y traducimos los porcentajes a probabilidades: - $R$: El alumno practica "running". - $B$: El alumno monta en bicicleta. Datos proporcionados: - $P(R) = 50\% = 0,50$ - $P(B) = 30\% = 0,30$ - $P(R \cup B) = 70\% = 0,70$ (probabilidad de que practique al menos uno de los dos). Podemos organizar la información en una **tabla de contingencia** para visualizar mejor las relaciones entre los sucesos. Para completar la tabla, calcularemos primero el apartado a). $$\begin{array}{c|cc|c} & B & \bar{B} & \text{Total} \\\hline R & P(R \cap B) & P(R \cap \bar{B}) & 0,50 \\ \bar{R} & P(\bar{R} \cap B) & P(\bar{R} \cap \bar{B}) & 0,50 \\\hline \text{Total} & 0,30 & 0,70 & 1,00 \end{array}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $P(A \cup B)$ representa la probabilidad de que ocurra el suceso $A$, el suceso $B$, o ambos.

**a) La probabilidad de que no practique ninguno de los dos deportes. (0,75 puntos)** No practicar ninguno de los dos deportes se denota como el suceso $\bar{R} \cap \bar{B}$. Por las **Leyes de De Morgan**, sabemos que el complementario de la unión es la intersección de los complementarios: $$\bar{R} \cap \bar{B} = \overline{R \cup B}$$ Por lo tanto, su probabilidad es: $$P(\bar{R} \cap \bar{B}) = P(\overline{R \cup B}) = 1 - P(R \cup B)$$ Sustituimos el valor conocido: $$P(\bar{R} \cap \bar{B}) = 1 - 0,70 = 0,30$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\text{ninguno}) = 0,30}$$ 💡 **Tip:** Las Leyes de De Morgan son fundamentales: $P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 1 - P(A \cup B)$ y $P(\bar{A} \cup \bar{B}) = 1 - P(A \cap B)$.

Para resolver los siguientes apartados, necesitamos conocer la probabilidad de que un alumno practique ambos deportes, $P(R \cap B)$. Utilizamos la fórmula de la probabilidad de la unión: $$P(R \cup B) = P(R) + P(B) - P(R \cap B)$$ Despejamos la intersección: $$P(R \cap B) = P(R) + P(B) - P(R \cup B)$$ $$P(R \cap B) = 0,50 + 0,30 - 0,70 = 0,10$$ Ahora podemos completar nuestra **tabla de contingencia**: $$\begin{array}{c|cc|c} & B & \bar{B} & \text{Total} \\\hline R & \mathbf{0,10} & 0,40 & 0,50 \\ \bar{R} & 0,20 & \mathbf{0,30} & 0,50 \\\hline \text{Total} & 0,30 & 0,70 & 1,00 \end{array}$$ $$\boxed{P(R \cap B) = 0,10}$$

**b) Si practica el deporte de montar en bicicleta, ¿cuál es la probabilidad de que practique running? (0,75 puntos)** Se nos pide la probabilidad de practicar running sabiendo que ya monta en bicicleta. Esto es una **probabilidad condicionada**: $P(R|B)$. Aplicamos la fórmula de la probabilidad condicionada: $$P(R|B) = \frac{P(R \cap B)}{P(B)}$$ Sustituimos los valores obtenidos anteriormente: $$P(R|B) = \frac{0,10}{0,30} = \frac{1}{3} \approx 0,3333$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(R|B) = \frac{1}{3} \approx 0,333}$$ 💡 **Tip:** En la probabilidad condicionada $P(A|B)$, el suceso que ya ha ocurrido ($B$) actúa como el nuevo espacio muestral reducido.

**c) ¿Son independientes los sucesos “Practicar running” y “Practicar montar en bicicleta”? (0,5 puntos)** Dos sucesos son **independientes** si y solo si la probabilidad de su intersección es igual al producto de sus probabilidades individuales: $$\text{¿}P(R \cap B) = P(R) \cdot P(B)\text{?}$$ Calculamos el producto de las probabilidades: $$P(R) \cdot P(B) = 0,50 \cdot 0,30 = 0,15$$ Comparamos con el valor de la intersección que calculamos en el paso 3: $$P(R \cap B) = 0,10$$ Como $0,10 \neq 0,15$, entonces: $$P(R \cap B) \neq P(R) \cdot P(B)$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Los sucesos no son independientes (son dependientes)}}$$ 💡 **Tip:** Otra forma de comprobarlo es ver si $P(R|B) = P(R)$. En este caso, $1/3 \neq 0,5$, lo que confirma que conocer que monta en bicicleta altera la probabilidad de que practique running.