Cálculo de un parámetro para un área determinada

**8. Hallar el parámetro positivo $a \in \mathbb{R}$ tal que el área de la región plana encerrada por las gráficas de las funciones $f(x) = x^2$ y $g(x) = ax$ sea 4/3.** Para delimitar la región plana, primero debemos encontrar los valores de $x$ donde las funciones $f(x)$ y $g(x)$ se intersectan. Para ello, igualamos ambas expresiones: $$f(x) = g(x) \implies x^2 = ax$$ Resolvemos la ecuación resultante: $$x^2 - ax = 0 \implies x(x - a) = 0$$ Las soluciones son: - $x_1 = 0$ - $x_2 = a$ Como el enunciado indica que $a$ es un parámetro positivo ($a \gt 0$), el intervalo de integración será $[0, a]$. 💡 **Tip:** Los puntos de corte definen los límites de integración para calcular el área encerrada entre dos curvas.

Para determinar qué función queda por encima de la otra en el intervalo $[0, a]$, evaluamos un punto intermedio, por ejemplo $x = a/2$: - $f(a/2) = (a/2)^2 = a^2/4$ - $g(a/2) = a(a/2) = a^2/2$ Como $a \gt 0$, entonces $a^2/2 \gt a^2/4$, lo que significa que la recta $g(x) = ax$ está por encima de la parábola $f(x) = x^2$ en dicho intervalo. El área $A$ viene dada por la integral definida de la diferencia de las funciones: $$A = \int_{0}^{a} (g(x) - f(x)) \, dx = \int_{0}^{a} (ax - x^2) \, dx$$ 💡 **Tip:** El área entre dos funciones siempre se calcula como la integral de la función "techo" menos la función "suelo".

Calculamos la primitiva de la función diferencia: $$\int (ax - x^2) \, dx = a \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}$$ Aplicamos la **Regla de Barrow** en los límites $0$ y $a$: $$A = \left[ \frac{ax^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{a} = \left( \frac{a(a)^2}{2} - \frac{(a)^3}{3} \right) - \left( \frac{a(0)^2}{2} - \frac{0^3}{3} \right)$$ $$A = \frac{a^3}{2} - \frac{a^3}{3} = \frac{3a^3 - 2a^3}{6} = \frac{a^3}{6}$$ El área expresada en función del parámetro $a$ es: $$\boxed{A = \frac{a^3}{6}}$$

El enunciado establece que el área debe ser igual a $4/3$. Por tanto, igualamos nuestra expresión al valor dado: $$\frac{a^3}{6} = \frac{4}{3}$$ Multiplicamos por 6 en ambos lados para despejar $a^3$: $$a^3 = \frac{4 \cdot 6}{3} = 4 \cdot 2 = 8$$ Calculamos la raíz cúbica: $$a = \sqrt[3]{8} = 2$$ Como el enunciado especifica que $a$ debe ser un parámetro positivo, el valor hallado es válido ya que $2 \gt 0$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = 2}$$