Integral racional por descomposición en fracciones simples

Para resolver la integral de una función racional donde el grado del numerador es menor que el del denominador, el primer paso es factorizar el denominador para descomponer la fracción. El denominador es $x^3 - x$. Podemos extraer factor común $x$: $$x^3 - x = x(x^2 - 1)$$ Observamos que $x^2 - 1$ es una diferencia de cuadrados, que se factoriza como suma por diferencia: $$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$$ Por tanto, la factorización completa es: $$\boxed{x^3 - x = x(x - 1)(x + 1)}$$ Como el denominador tiene raíces reales distintas ($x=0$, $x=1$ y $x=-1$), utilizaremos el método de **fracciones simples**.

Escribimos la fracción original como una suma de fracciones simples con coeficientes $A, B$ y $C$ por determinar: $$\frac{1}{x(x - 1)(x + 1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1} + \frac{C}{x + 1}$$ Para hallar los valores de $A, B$ y $C$, sumamos las fracciones del lado derecho e igualamos los numeradores: $$1 = A(x - 1)(x + 1) + Bx(x + 1) + Cx(x - 1)$$ 💡 **Tip:** Para encontrar los coeficientes de forma rápida, daremos a $x$ los valores de las raíces del denominador.

Sustituimos los valores de las raíces en la ecuación: 1. **Para $x = 0$:** $$1 = A(0 - 1)(0 + 1) + B(0) + C(0) \implies 1 = A(-1)(1) \implies \mathbf{A = -1}$$ 2. **Para $x = 1$:** $$1 = A(0) + B(1)(1 + 1) + C(0) \implies 1 = 2B \implies \mathbf{B = \frac{1}{2}}$$ 3. **Para $x = -1$:** $$1 = A(0) + B(0) + C(-1)(-1 - 1) \implies 1 = 2C \implies \mathbf{C = \frac{1}{2}}$$ Por tanto, la descomposición es: $$\frac{1}{x^3 - x} = \frac{-1}{x} + \frac{1/2}{x - 1} + \frac{1/2}{x + 1}$$

Sustituimos la descomposición en la integral original y aplicamos la linealidad (la integral de la suma es la suma de las integrales): $$\int \frac{1}{x^3 - x} dx = \int \left( \frac{-1}{x} + \frac{1/2}{x - 1} + \frac{1/2}{x + 1} \right) dx$$ $$\int \frac{1}{x^3 - x} dx = -\int \frac{1}{x} dx + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x - 1} dx + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x + 1} dx$$ Resolvemos cada integral inmediata usando la fórmula $\int \frac{1}{u} du = \ln|u| + K$: $$- \ln|x| + \frac{1}{2} \ln|x - 1| + \frac{1}{2} \ln|x + 1| + C$$ Podemos simplificar el resultado usando propiedades de los logaritmos (opcional): $$\frac{1}{2} (\ln|x - 1| + \ln|x + 1|) - \ln|x| = \frac{1}{2} \ln|x^2 - 1| - \ln|x| = \ln\left( \frac{\sqrt{|x^2 - 1|}}{|x|} \right)$$ 💡 **Tip:** No olvides añadir siempre la constante de integración $C$ en las integrales indefinidas. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{-\ln|x| + \frac{1}{2} \ln|x-1| + \frac{1}{2} \ln|x+1| + C}$$