Puntos de inflexión de una función logarítmica

Para hallar los puntos de inflexión de la función $f(x) = x - \ln(x^2 + 1)$, primero debemos determinar su dominio y calcular su primera derivada. **Dominio:** La función logaritmo neperiano está definida para valores positivos. En este caso, $x^2 + 1 \gt 0$ para cualquier valor de $x \in \mathbb{R}$. Por tanto, el dominio es: $$\text{Dom}(f) = \mathbb{R}$$ **Primera derivada $f'(x)$:** Derivamos la función término a término: - La derivada de $x$ es $1$. - Para la derivada de $\ln(x^2+1)$ usamos la regla de la cadena: $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$. $$f'(x) = 1 - \frac{2x}{x^2 + 1}$$ Operando para obtener una única fracción: $$f'(x) = \frac{x^2 + 1 - 2x}{x^2 + 1} = \frac{(x - 1)^2}{x^2 + 1}$$ 💡 **Tip:** Aunque para los puntos de inflexión necesitamos la segunda derivada, simplificar la primera suele facilitar el siguiente paso.

Los puntos de inflexión se encuentran entre las soluciones de $f''(x) = 0$. Calculamos la segunda derivada a partir de $f'(x) = 1 - \frac{2x}{x^2 + 1}$ (que es más sencillo que derivar el cociente final del paso anterior): $$f''(x) = \left( 1 - \frac{2x}{x^2 + 1} \right)' = 0 - \left[ \frac{(2x)' \cdot (x^2 + 1) - 2x \cdot (x^2 + 1)'}{(x^2 + 1)^2} \right]$$ $$f''(x) = - \left[ \frac{2(x^2 + 1) - 2x(2x)}{(x^2 + 1)^2} \right] = - \left[ \frac{2x^2 + 2 - 4x^2}{(x^2 + 1)^2} \right]$$ $$f''(x) = - \left[ \frac{-2x^2 + 2}{(x^2 + 1)^2} \right] = \frac{2x^2 - 2}{(x^2 + 1)^2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda la regla del cociente: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Igualamos la segunda derivada a cero para encontrar los posibles puntos de inflexión: $$f''(x) = 0 \implies \frac{2x^2 - 2}{(x^2 + 1)^2} = 0$$ Una fracción es cero cuando su numerador lo es: $$2x^2 - 2 = 0 \implies 2x^2 = 2 \implies x^2 = 1$$ $$x = \pm 1$$ Los candidatos a puntos de inflexión son **$x = -1$** y **$x = 1$**.

Para confirmar que son puntos de inflexión, debemos comprobar si existe un cambio de signo en la segunda derivada (cambio de concavidad a convexidad o viceversa). El denominador $(x^2 + 1)^2$ siempre es positivo, por lo que el signo de $f''(x)$ depende solo del numerador $2x^2 - 2$. $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, -1) & -1 & (-1, 1) & 1 & (1, +\infty) \\ \hline f''(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \text{Curvatura} & \cup \text{ (convexa)} & \text{P.I.} & \cap \text{ (cóncava)} & \text{P.I.} & \cup \text{ (convexa)} \end{array}$$ - En $(-\infty, -1)$, $f''(x) \gt 0$ (la función es convexa). - En $(-1, 1)$, $f''(x) \lt 0$ (la función es cóncava). - En $(1, +\infty)$, $f''(x) \gt 0$ (la función es convexa). Al haber cambio de curvatura en ambos puntos, **$x = -1$** y **$x = 1$** son efectivamente puntos de inflexión.

Calculamos las ordenadas de los puntos sustituyendo los valores de $x$ en la función original $f(x) = x - \ln(x^2 + 1)$: **Para $x = 1$:** $$y = f(1) = 1 - \ln(1^2 + 1) = 1 - \ln 2$$ **Para $x = -1$:** $$y = f(-1) = -1 - \ln((-1)^2 + 1) = -1 - \ln 2$$ ✅ **Resultado final:** Los puntos de inflexión son: $$\boxed{(-1, -1 - \ln 2) \quad \text{y} \quad (1, 1 - \ln 2)}$$ (Aproximadamente: $(-1, -1.693)$ y $(1, 0.307)$).