Estudio completo y representación de una función racional

**a) Estudiar asíntotas, monotonía y puntos extremos de $f(x)$. (1,5 puntos)** Primero, determinamos el dominio de la función. Al ser una función racional, el dominio son todos los reales excepto aquellos que anulan el denominador: $$1 - x^2 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1.$$ Por tanto, $\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}$. **Asíntotas Verticales (AV):** Estudiamos los límites laterales en los puntos donde no existe la función: Para $x = -1$: $$\lim_{x \to -1^-} \frac{x^3}{1-x^2} = \frac{-1}{0^-} = +\infty; \quad \lim_{x \to -1^+} \frac{x^3}{1-x^2} = \frac{-1}{0^+} = -\infty.$$ Para $x = 1$: $$\lim_{x \to 1^-} \frac{x^3}{1-x^2} = \frac{1}{0^+} = +\infty; \quad \lim_{x \to 1^+} \frac{x^3}{1-x^2} = \frac{1}{0^-} = -\infty.$$ 💡 **Tip:** Si el límite en un punto $a$ es infinito, entonces $x=a$ es una asíntota vertical. ✅ **Resultado (AV):** $$\boxed{x = -1, \quad x = 1}$$

**Asíntotas Horizontales (AH):** Calculamos el límite al infinito: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3}{1-x^2} = \pm\infty.$$ No existen asíntotas horizontales. **Asíntotas Oblicuas (AO):** Como el grado del numerador es exactamente uno mayor que el del denominador, existe una asíntota oblicua del tipo $y = mx + n$. Calculamos $m$: $$m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{x(1-x^2)} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{x - x^3} = -1.$$ Calculamos $n$: $$n = \lim_{x \to \infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^3}{1-x^2} + x \right) = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 + x - x^3}{1-x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{1-x^2} = 0.$$ 💡 **Tip:** Una función racional tiene AO si $\text{grado}(\text{numerador}) = \text{grado}(\text{denominador}) + 1$. ✅ **Resultado (AO):** $$\boxed{y = -x}$$

Para estudiar la monotonía y los extremos, calculamos la primera derivada $f'(x)$ usando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(3x^2)(1-x^2) - (x^3)(-2x)}{(1-x^2)^2} = \frac{3x^2 - 3x^4 + 2x^4}{(1-x^2)^2} = \frac{3x^2 - x^4}{(1-x^2)^2}.$$ Simplificamos factorizando $x^2$: $$f'(x) = \frac{x^2(3 - x^2)}{(1-x^2)^2}.$$ Buscamos los puntos críticos resolviendo $f'(x) = 0$: $$x^2(3 - x^2) = 0 \implies x_1 = 0, \quad x_2 = \sqrt{3}, \quad x_3 = -\sqrt{3}.$$ 💡 **Tip:** Los puntos críticos son candidatos a ser máximos o mínimos. No olvides incluir los puntos de discontinuidad ($x= \pm 1$) al estudiar el signo de la derivada.

Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por los puntos críticos y el dominio. El signo depende solo de $(3 - x^2)$ porque $x^2$ y el denominador al cuadrado son siempre positivos (o cero). $$ \begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty, -\sqrt{3}) & -\sqrt{3} & (-\sqrt{3}, -1) & (-1, 1) & (1, \sqrt{3}) & \sqrt{3} & (\sqrt{3}, +\infty) \\ \hline f'(x) & - & 0 & + & + & + & 0 & - \\ f(x) & \searrow & \text{mín} & \nearrow & \nearrow & \nearrow & \text{máx} & \searrow \end{array} $$ Note que en $x=0$, aunque $f'(0)=0$, no hay cambio de signo, por lo que no es un extremo relativo (es un punto de inflexión con tangente horizontal). ✅ **Resultado (Monotonía):** $$\boxed{\text{Creciente: } (-\sqrt{3}, -1) \cup (-1, 1) \cup (1, \sqrt{3}) \quad \text{Decreciente: } (-\infty, -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, +\infty)}$$

Calculamos las ordenadas de los puntos críticos para hallar los extremos: Para $x = -\sqrt{3}$: $$f(-\sqrt{3}) = \frac{(-\sqrt{3})^3}{1 - (-\sqrt{3})^2} = \frac{-3\sqrt{3}}{1 - 3} = \frac{-3\sqrt{3}}{-2} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \approx 2,6.$$ Como la función pasa de decrecer a crecer, es un **mínimo relativo**. Para $x = \sqrt{3}$: $$f(\sqrt{3}) = \frac{(\sqrt{3})^3}{1 - (\sqrt{3})^2} = \frac{3\sqrt{3}}{1 - 3} = -\frac{3\sqrt{3}}{2} \approx -2,6.$$ Como la función pasa de crecer a decrecer, es un **máximo relativo**. 💡 **Tip:** Al ser una función impar ($f(-x) = -f(x)$), su gráfica es simétrica respecto al origen. ✅ **Resultado (Extremos):** $$\boxed{\text{Mínimo: } \left(-\sqrt{3}, \frac{3\sqrt{3}}{2}\right), \quad \text{Máximo: } \left(\sqrt{3}, -\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)}$$

**b) Con los datos obtenidos, representar de forma aproximada la gráfica de $f(x)$. (0,5 puntos)** Utilizamos toda la información recopilada: 1. Asíntotas verticales en $x = -1$ y $x = 1$. 2. Asíntota oblicua $y = -x$. 3. Pasa por el origen $(0,0)$. 4. Mínimo relativo en $x \approx -1,73$ y Máximo relativo en $x \approx 1,73$. 5. Comportamiento en los extremos de las asíntotas laterales. Podemos ver la representación a continuación: