Posición relativa y distancia entre dos rectas

**a) Estudiar la posición relativa de las rectas $r$ y $s$. (1 punto)** Primero, obtenemos un punto y un vector director de cada recta. Para la recta **$s$**, que está en forma continua, es directo: - Punto $P_s = (1, 3, -1)$ - Vector director $\vec{v_s} = (2, 1, -2)$ Para la recta **$r$**, dada como intersección de dos planos, la parametrizamos. Si hacemos $y = \lambda$: - $x = 2 - 2\lambda$ - $z = 1 - x = 1 - (2 - 2\lambda) = -1 + 2\lambda$ Así, las ecuaciones paramétricas de $r$ son: $$r : \begin{cases} x = 2 - 2\lambda \\ y = \lambda \\ z = -1 + 2\lambda \end{cases}$$ De aquí extraemos: - Punto $P_r = (2, 0, -1)$ - Vector director $\vec{v_r} = (-2, 1, 2)$ 💡 **Tip:** Para obtener el vector director de una recta en implícitas también puedes calcular el producto vectorial de los vectores normales de los planos que la definen, pero parametrizar suele ser más sencillo para obtener un punto a la vez.

Analizamos la dependencia lineal de los vectores directores $\vec{v_r} = (-2, 1, 2)$ y $\vec{v_s} = (2, 1, -2)$. Comprobamos si son proporcionales: $$\frac{-2}{2} \neq \frac{1}{1}$$ Como no son proporcionales, las rectas **no son paralelas ni coincidentes**. Por tanto, o se cortan en un punto o se cruzan en el espacio. Calculamos el vector que une un punto de cada recta: $\vec{P_r P_s} = (1 - 2, 3 - 0, -1 - (-1)) = (-1, 3, 0)$. Ahora calculamos el determinante de la matriz formada por $\vec{v_r}$, $\vec{v_s}$ y $\vec{P_r P_s}$ para ver si son coplanarios: $$\det(\vec{v_r}, \vec{v_s}, \vec{P_r P_s}) = \begin{vmatrix} -2 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & -2 \\ -1 & 3 & 0 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$\det = [(-2) \cdot 1 \cdot 0 + 1 \cdot (-2) \cdot (-1) + 2 \cdot 2 \cdot 3] - [2 \cdot 1 \cdot (-1) + (-2) \cdot (-2) \cdot 3 + 1 \cdot 2 \cdot 0]$$ $$\det = [0 + 2 + 12] - [-2 + 12 + 0] = 14 - 10 = 4$$ Como el determinante es distinto de cero ($4 \neq 0$), los tres vectores son linealmente independientes. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Las rectas } r \text{ y } s \text{ se cruzan en el espacio}}$$

**b) Calcular la distancia entre las dos rectas. (1 punto)** La distancia entre dos rectas que se cruzan se calcula mediante la fórmula: $$d(r, s) = \frac{|[\vec{v_r}, \vec{v_s}, \vec{P_r P_s}]|}{|\vec{v_r} \times \vec{v_s}|}$$ Ya sabemos que el producto mixto (numerador) es el determinante calculado antes: $|4| = 4$. Calculamos el producto vectorial $\vec{w} = \vec{v_r} \times \vec{v_s}$: $$\vec{v_r} \times \vec{v_s} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -2 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & -2 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por Sarrus (o por menores): $$\vec{w} = \vec{i} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} -2 & 2 \\ 2 & -2 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}$$ $$\vec{w} = \vec{i}(-2 - 2) - \vec{j}(4 - 4) + \vec{k}(-2 - 2) = -4\vec{i} + 0\vec{j} - 4\vec{k}$$ $$\vec{v_r} \times \vec{v_s} = (-4, 0, -4)$$ 💡 **Tip:** El producto vectorial nos da un vector perpendicular a ambas rectas, que marca la dirección de la distancia mínima.

Calculamos el módulo del vector producto vectorial: $$|\vec{v_r} \times \vec{v_s}| = \sqrt{(-4)^2 + 0^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$$ Ahora, aplicamos la fórmula de la distancia: $$d(r, s) = \frac{4}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$ Racionalizando el resultado: $$d(r, s) = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{d(r, s) = \frac{\sqrt{2}}{2} \text{ unidades } \approx 0.707 \text{ u}}$$