Triángulo rectángulo en el espacio

Para encontrar un punto $P$ genérico de la recta $r$, el primer paso es expresar dicha recta en **ecuaciones paramétricas**. La recta $r$ viene dada en su forma implícita como la intersección de dos planos: $$r : \begin{cases} x = 1 \\ y = z \end{cases}$$ Si asignamos un parámetro $\lambda$ a la variable $z$, obtenemos las ecuaciones paramétricas: $$\begin{cases} x = 1 \\ y = \lambda \\ z = \lambda \end{cases}$$ Cualquier punto $P$ que pertenezca a la recta $r$ tendrá coordenadas de la forma: $$\boxed{P(1, \lambda, \lambda)}$$ 💡 **Tip:** Las ecuaciones paramétricas permiten expresar todas las coordenadas de un punto móvil sobre una recta en función de un único parámetro, lo que facilita enormemente la resolución de problemas de pertenencia.

El enunciado indica que el triángulo $ABP$ debe tener un ángulo recto en el punto $A$. Esto significa que los vectores que parten de ese vértice, **$\vec{AB}$** y **$\vec{AP}$**, deben ser perpendiculares entre sí. Calculamos las coordenadas de ambos vectores restando las coordenadas del origen a las del extremo: 1. **Vector $\vec{AB}$:** $$\vec{AB} = B - A = (1, 1, 0) - (0, 0, 2) = (1 - 0, 1 - 0, 0 - 2) = (1, 1, -2)$$ 2. **Vector $\vec{AP}$:** $$\vec{AP} = P - A = (1, \lambda, \lambda) - (0, 0, 2) = (1 - 0, \lambda - 0, \lambda - 2) = (1, \lambda, \lambda - 2)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para calcular el vector $\vec{AB}$ siempre se opera como extremo menos origen: $\vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A)$.

Dos vectores son perpendiculares si y solo si su **producto escalar** es igual a cero. Por tanto, imponemos la condición: $$\vec{AB} \cdot \vec{AP} = 0$$ Sustituimos las coordenadas de los vectores obtenidos en el paso anterior: $$(1, 1, -2) \cdot (1, \lambda, \lambda - 2) = 0$$ Realizamos el producto escalar componente a componente: $$1 \cdot 1 + 1 \cdot \lambda + (-2) \cdot (\lambda - 2) = 0$$ $$1 + \lambda - 2\lambda + 4 = 0$$ Simplificamos la ecuación resultante: $$5 - \lambda = 0 \implies \lambda = 5$$ 💡 **Tip:** El producto escalar de dos vectores $\vec{u}(u_1, u_2, u_3)$ y $\vec{v}(v_1, v_2, v_3)$ es $u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3$.

Una vez hallado el valor del parámetro $\lambda = 5$, simplemente sustituimos este valor en la expresión del punto genérico $P$ que definimos al principio: Como $P = (1, \lambda, \lambda)$, entonces: $$P = (1, 5, 5)$$ Este es el único punto de la recta $r$ que forma un ángulo de $90^\circ$ con el segmento $AB$ en el vértice $A$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{P(1, 5, 5)}$$