Discusión de un sistema de ecuaciones con parámetro

**2. Discutir en función del parámetro $a \in \mathbb{R}$, el sistema lineal de ecuaciones: (2 puntos)** En primer lugar, escribimos el sistema en forma matricial. Identificamos la matriz de coeficientes ($A$) y la matriz ampliada ($A^*$), que incluye los términos independientes: $$A = \begin{pmatrix} 4 & 1 & -2a \\ a & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -a \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} 4 & 1 & -2a & | & a \\ a & -1 & 1 & | & 0 \\ 0 & 1 & -a & | & -1 \end{pmatrix}$$ Para discutir el sistema según los valores de $a$, utilizaremos el **Teorema de Rouché-Capelli**, el cual relaciona los rangos de estas matrices con el número de soluciones. 💡 **Tip:** Recuerda que un sistema es compatible si $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*)$. Si además este rango coincide con el número de incógnitas, el sistema es determinado (solución única).

Calculamos el determinante de la matriz $A$ utilizando la regla de Sarrus para encontrar los valores críticos del parámetro $a$: $$|A| = \begin{vmatrix} 4 & 1 & -2a \\ a & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -a \end{vmatrix}$$ $$|A| = [4 \cdot (-1) \cdot (-a) + 1 \cdot 1 \cdot 0 + a \cdot 1 \cdot (-2a)] - [0 \cdot (-1) \cdot (-2a) + 1 \cdot a \cdot (-a) + 1 \cdot 1 \cdot 4]$$ $$|A| = [4a + 0 - 2a^2] - [0 - a^2 + 4]$$ $$|A| = 4a - 2a^2 + a^2 - 4 = -a^2 + 4a - 4$$ Igualamos el determinante a cero para ver cuándo la matriz $A$ no tiene rango máximo: $$-a^2 + 4a - 4 = 0 \implies a^2 - 4a + 4 = 0$$ $$(a - 2)^2 = 0 \implies a = 2$$ El único valor que anula el determinante es $a = 2$. $$\boxed{|A| = -(a-2)^2}$$

Si **$a \neq 2$**, el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero ($|A| \neq 0$). Esto implica que el rango de la matriz $A$ es igual a 3. Como la matriz ampliada $A^*$ es de dimensión $3 \times 4$, su rango máximo también es 3, por lo que: $$\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 3 = \text{nº de incógnitas}$$ Según el **Teorema de Rouché-Capelli**, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**, lo que significa que tiene una **solución única** para cualquier valor de $a$ distinto de 2. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a \neq 2, \text{ el sistema es Compatible Determinado}}$$

Si **$a = 2$**, sabemos que $|A| = 0$, por lo que $\text{rg}(A) < 3$. Analizamos la matriz ampliada sustituyendo $a=2$: $$A^* = \begin{pmatrix} 4 & 1 & -4 & | & 2 \\ 2 & -1 & 1 & | & 0 \\ 0 & 1 & -2 & | & -1 \end{pmatrix}$$ Calculamos el rango de $A$ buscando un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = -4 - 2 = -6 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Ahora calculamos el rango de $A^*$ comprobando si algún menor de orden 3 que incluya la columna de términos independientes es distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 4 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 4(1 - 0) - 1(-2 - 0) + 2(2 - 0) = 4 + 2 + 4 = 10 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 3 no nulo en la ampliada, $\text{rg}(A^*) = 3$. Comparando rangos: $$\text{rg}(A) = 2 \neq \text{rg}(A^*) = 3$$ Según el **Teorema de Rouché-Capelli**, el sistema es **Incompatible (SI)**, es decir, no tiene solución. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a = 2, \text{ el sistema es Incompatible}}$$