Estudio del rango con parámetros y resolución de sistemas matriciales

**a) Estudiar el rango de la matriz $A - \lambda I$ según los valores de $\lambda \in \mathbb{R}$, donde $I$ es la matriz identidad de orden $2 \times 2$. (1,5 puntos)** En primer lugar, planteamos la matriz $A - \lambda I$ realizando la resta de la matriz $A$ y la matriz identidad multiplicada por el parámetro $\lambda$: $$A - \lambda I = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} - \lambda \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 - \lambda & 2 \\ 1 & 1 - \lambda \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\lambda & 2 \\ 1 & 1 - \lambda \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la matriz identidad $I$ tiene unos en la diagonal principal y ceros en el resto de posiciones. Al restar $\lambda I$, simplemente restamos $\lambda$ a los elementos de la diagonal de $A$.

Para estudiar el rango de una matriz cuadrada de orden 2, calculamos su determinante. El rango será máximo (2) si el determinante es distinto de cero. $$|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} -\lambda & 2 \\ 1 & 1 - \lambda \end{vmatrix} = (-\lambda)(1 - \lambda) - (2)(1)$$ Desarrollamos la expresión: $$|A - \lambda I| = -\lambda + \lambda^2 - 2 = \lambda^2 - \lambda - 2$$ 💡 **Tip:** El determinante de una matriz $2 \times 2$ se calcula como el producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de los de la diagonal secundaria: $ad - bc$.

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores de $\lambda$ que reducen el rango: $$\lambda^2 - \lambda - 2 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$\lambda = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}$$ Obtenemos dos soluciones: - $\lambda_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2$ - $\lambda_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1$ 💡 **Tip:** Si el determinante es cero, el rango es menor que el orden de la matriz. Como la matriz no es la matriz nula para estos valores, el rango será al menos 1.

Analizamos el rango de $A - \lambda I$ según los valores de $\lambda$: 1. **Si $\lambda \neq 2$ y $\lambda \neq -1$**: El determinante $|A - \lambda I| \neq 0$. Por tanto, el rango de la matriz es **2**. 2. **Si $\lambda = 2$**: La matriz es $A - 2I = \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$. Su determinante es $0$. Como existen elementos distintos de cero (por ejemplo, el $-2$ en la posición 1,1), el rango es **1**. 3. **Si $\lambda = -1$**: La matriz es $A - (-1)I = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$. Su determinante es $0$. Al igual que antes, hay elementos no nulos, por lo que el rango es **1**. ✅ **Resultado (estudio del rango):** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } \lambda \neq 2 \text{ y } \lambda \neq -1 \implies \text{rango}(A-\lambda I) = 2 \\ \text{Si } \lambda = 2 \text{ o } \lambda = -1 \implies \text{rango}(A-\lambda I) = 1 \end{cases}}$$

**b) Para $\lambda = 2$ solucionar el sistema $AX = \lambda X$, donde $X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$. (0,5 puntos)** El sistema $AX = 2X$ se puede reescribir como $(A - 2I)X = 0$. Utilizando la matriz calculada en el apartado anterior para $\lambda = 2$: $$\begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ Esto nos da el siguiente sistema de ecuaciones lineales: $$\begin{cases} -2x + 2y = 0 \\ x - y = 0 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Observa que la primera ecuación es la segunda multiplicada por $-2$. Esto confirma que el sistema es dependiente (rango 1) y tendrá infinitas soluciones.

Ambas ecuaciones se simplifican a la misma expresión: $$x - y = 0 \implies x = y$$ Para expresar la solución general, utilizamos un parámetro $\alpha \in \mathbb{R}$: $$y = \alpha \implies x = \alpha$$ Por tanto, la solución es el conjunto de vectores: $$X = \begin{pmatrix} \alpha \\ \alpha \end{pmatrix} = \alpha \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = \alpha, \; y = \alpha \quad \forall \alpha \in \mathbb{R}}$$